Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
$/4(S)Mi)rfS = °. (3)
Поэтому для доказательства разложения
СО
8*(5»-i)=2 фя/ (4)
1 = 0
достаточно показать, что любая функция /(|) из (S’" ~ может быть приближена в среднем с любой степенью точности суммами
функций из пространств Jr>nl, 1=0, 1, ...
По теореме Вейерштрасса любая непрерывная функция /(|) на сфере б’"-1 может быть с любой степенью точности равномерно
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА I ГРУППЫ SO (л)
443
приближена функцией вида <р(|), где <р(х)— многочлен. Так как каждый многочлен можно представить в виде суммы однородных многочленов, то мы получаем следующий вывод.
Для любой непрерывной функции / (|) на единичной сфере Sn~1 и любого ej>0 найдутся такие многочлены (х) из пространств 5Rnl, 1—1, 2, ..., т, что для всех точек имеем
1/(1)- s ь (S) I <е-
I = 1
Но в п. 6 было показано, что если ер, (х) ? 9^л/, то срг (|) можег быть представлено в виде
№)
?/(!)= S hi-4k(l)> ft= о
где /~2/г. Отсюда вытекает, что любая непрерывная
функция /(!) на Sn~1 может быть с любой степенью точности равномерно приближена суммой функций, принадлежащих пространствам Следовательно, подпространства fi>nl порождают все пространство 22(?,л~1). Тем самым доказано разложение (4).
Из разложения (4) следует, что представление L (g) является прямой суммой представлений Tnl (g), причем каждое из представлений Tnl ig) входит в разложение L (g) только один раз. Тем самым доказано равенство (2).
Поскольку мы воспользовались реализацией представлений Tnl (g) в пространствах Sjnl, формулу (2) точнее писать в виде
СО
L{g)=^Hnt(g). (2')
/ = о
Осталось показать, что представления Tnl (g) неприводимы. Докажем это с помощью индукции по п. Сначала рассмотрим сужение представления Tnl (g) на подгруппу SO(n—1).
8. Разложение сужения представления Tnl (g) на подгруппу
SO (tt—1). Сузим представление Tnl (g) группы SO (п) на подгруппу SO(n— 1). Мы получим представление Tnl (h) этой подгруппы. Покажем, что Tnl(К), h^SO(n—1), является прямой суммой представлений Tn~bk(h), Osg&sg;/:
i
Tnl(h)= 2 Tn~1'k(h), h?SO(n— 1). (1)
ft = 0
Построим сначала подпространства 51лНг в 3^л//г23^л’ 1~‘2, в которых реализуются представления Тп~ък(К). Обозначим через х1п~ * фл " ь * пространство многочленов вида xla— * hk (х'), где hk (х') ^
444 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
??л-1. * т е является однородным гармоническим многочленом степени k от ti—1 переменного. Очевидно, что х1~
Ой^А^/.-Так как хп не изменяется при вращениях А из подгруппы SO (п — 1), то при /(х) х1п~ * JqP — '• * имеем
Lnl (А)/(х) =f(h~1 х) = * hk (Ir1 x'). (2)
Поскольку пространство Jq" — ’• * инвариантно относительно операторов вращения из SO (п—1) (см. п. 4), то hk (hr1 х') ? - ’> * и,
следовательно,
Lnl (A) t4" * А* (х')] G 4" * Ф" “ * (3)
Мы доказали, таким образом, что операторы Lnl (A), h?SO(n — 1) оставляют инвариантными подпространства — — •> *. При этом
представление
Т (А) [4 - * Aft (х')] = 4“ Ч (А~1 х') (4)
является сужением представления Lnt (А) на подпространство
4— * ~ * и эквивалентно, согласно п- 5, представлению Тп~1>к (А),
h(^-SO(n— 1).
Обозначим через %пШ образ подпространства х1~ * — * при
отображении на Шп!/г* 9tn' 1 — 2- Очевидно, что 31л/* инвариантно относительно операторов представления Tnl (A), h(^-SO(n—1), индуцированного в Шп1/г2 ЭТЛ> г ~ 2 представлением Lnl (А). Покажем, что пространство Шп1/г* 9tn’г ~ 2 является прямой суммой подпространств Wlk:
i
SR»//fSSR». *-а= 2 (5)
А = О
причём сужение представления Tnl (A), h^-SO(n—1) на подпространство эквивалентно Tn~i’k(h). Очевидно, что эти утверждения будут доказаны, если мы покажем, что пространство есть
прямая сумма подпространства г2 1 ~2 и подпространств <?)л_1’ *'•
i
gi"W*3i»- ;-2+ 2 (6)
* = о
Иными словами, надо доказать, что любой многочлен f (х) из однозначно представим в виде
f (х) = г*Л (X) + S 4 - Ай (ХО, (7)
