Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
р — I- СО
(ср. п. 1 § 4 главы II). Пользуюсь ими, получаем из формул предыдущего пункта ряд новых соотношений.
Так, из формулы (4) п. 3 получаем
СО
^ ехр [(X —)— jj, —|- v) х — 2|лт! — ts sli х] г-1 ^ (г2) dx =
— ОО
= r(v + 4V1 + x + 11 + v(s3), (1)
2 ’ 2 2 ’ 2
где
г3 = f- -)- 2ts ch x -j- s2, eTl = tJr^e t
Точно так же из формулы (5) п. 3 и равенства У3 = 0 при e^^s/t получаем при
Г(2ц + 1} j ехр [(X -)- jj, -)- v) х 2jj,xj -)- ts sh x] r ^ (r2) dx =
— 00
г(ч+т)
Г (v -|— X -|— fJL -|— 1 ) ^ 1 ^ — V >¦ — H-+ V if1) S 1-M). -f p. — у X + Ц + V (¦S2)) (2)
где
r5 = 2ts ch x — t* — s*, =±ZZllL
r
§ 4] ИНТЕГРАЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ УИТТЕКЕРА 425
Далее, из формул (8) и (11) п. 3 вытекает, что
1
1п7
Г(2ц+1)
^ ехр [(X -f ц -f v) х — 2цх! — ts ch х] г'лМ_х>(г2) dx =
Г (" + т)
= гнТТТГТ,Г1^-^> , + Х + |1(А (3)
“Г Т. “Г V 2 ’ 2 2’ 2
где
t -\- eTs
г3 = s2 — f- — 2ts sh x, eTl =
а из формул (9) и (12) получаем
00
1
Г(2ц+1)
In
J ехр [(X -f ц -f v) x — 2jax! — ts ch x] MK ^ (r‘2) dx =
r(|- ,
^— ц. — V ц. — x — V (O 5 1 X — ц. 4- V — X-n—V (¦S2)' (4)
где
ra = f2 — s’2 + 2fsshx,
1 r
5. Вырожденные случаи теорем сложения. При некоторых соотношениях между числами tu х, матрица е(х), gj(t^) выра-
жается не через gi (г) или g%(r), а через g+(r) или g_(r). В этих случаях соответствующие интегралы выражаются не через функции Уиттекера, а через степенную функцию. Укажем соответствующие формулы.
Если i=j= 1, t^>s^> 0 и eT = s/t, то
g\ (0 е (х) gi (— s) = е (х) g (г) г (Ь),
где
t2 — sa , t2 — s2
r=--------, b=—^—.
s ’ 2
Так как #+_[g_(r)] = 0, то интеграл Js из п. 3 обращается при et = sjt, t^>s^> 0 в нуль.
Если s^>t^> 0, то при ez = tjs
gx (0 6 (0 gx i—s) = e (х) g+ (— г) г (Ь),
426 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
где
s3 — t2 , s2 — И2
г =------, Ь = —к—.
s ’ 2
Отсюда выводим, что при 0, ez = tfs интеграл Js из п. 3
принимает значение
=г®ТГ) “ '<s’ “ esp РтЧ'
Аналогично доказывается, что если s^>t^> 0 и ez = sjt, то У3=>0.
Укажем еще следующие соотношения того же типа. Если i^>0, s^> 0, eT = s/4 то интеграл Js из л. 3 принимает значение
Т _ ___________-Р (^)________W
6 — ! 1 \ / 1 \ ^ г(?-х+,)г(т + 1+1.)
H2 + S2
X s 11+1 (s3 -j- t*)'^ exp
Интегралы же Jn и J8 из п. 3 обращаются при ^^>0, s^>0, ez = sjt в нуль.
§ 5. Многочлены Лагерра и представления группы комплексных треугольных матриц третьего порядка
1. Определение многочленов Лагерра. Если в вырожденной гипергеометрической функции Ф(а; у, л;) параметр а является целым отрицательным числом или нулем, то ряд обрывается. Таким образом, Ф(—rt; f; л;) является многочленом. Рассмотрим многочлены
Li (-у) = j7]'/ ф (— п’ а+1-> х), (1)
называемые многочленами Лагерра.
Многие свойства многочленов Лагерра непосредственно вытекают из соответствующих свойств вырожденной гипергеометрической функции. Так, из разложения (1) п. 2 § 1 вытекает, что
сы= j <-Г)*-. (2)
т~ 0
Далее, многочлены Лагерра являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка
*S + (a — z + = (3)
непосредственно вытекающего из уравнения (3) п. 2 § 1.
§ 5[ МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА 427
Из формулы (2) легко следует, что
1 нп
С (х) = ^ехх * (е *х^). (4)
Для доказательства достаточно использовать формулу Лейбница. Мы приведем сейчас другое доказательство равенства (4). Для этого заметим, что в силу формулы (1) п. 1 § 1 и (2) п. 2 § 1 имеет место следующее интегральное представление вырожденной гипергеометри-ческой функции Ф(а; у; х):
