Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим матрицу
Из равенств (2) следует, что при t = 0 имеем г = х, т=? = 0'и
Rx fe (0) Rx (gi (*)) = Rx (e (x)) Ry (ft (r)) Rx (S (- x)) Rx (z (b)). (4)
Продифференцируем это соотношение no f и положим t = 0. В силу равенств (3) и формул (1) — (4) п. 5 § 2 получаем
A+Ry (gi (х)) =
= Гх {Rx (й (¦*» Ё & (¦*)) + -f Ri fe (*))Z+T -1 •
Подставляя ^выражения для операторов Е и Z, выводим, что при
Точно так же из рассмотрения произведения g_ (t)gi(x) выводим
/ 1 t-j-x +
?+(0ft(*) = о 1 JC
\0 0 1 /
Легко проверить, что
g+ (0 gi (х) = е (т) ft (г) е (— ^ ^ (Ь),
(1)
где
(2)
dr _ 1
dt t=о 2 ’
dx I dt 1 = 0
2x ’ dt t= 0
x
(3)
Так как Rx(g) — представление группы G, то
о = — 1
1 dR,(g}(x))
dx
(5)
§ 3] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ УИТТЕКЕРА 409
Из рассмотрения произведения g+(t)g<i(x) следует, что
Мх (ft С*)) = j -х)Кх (й (¦*)) - т —. (7)
а из рассмотрения произведения §¦_ (?) ft (jc), что
л Яг (ft (¦*)) = у - ¦*) Rx (ft (¦*)) + i —. (8)
2. Рекуррентные соотношения. Выведем теперь из формул предыдущего пункта рекуррентные соотношения, связывающие функции (1 (х) и с функциями U^±i/2, tL+i/aW И ЖХ±1/2, ^±1/а (х).
Для этого заменим операторы Л+< Л_, (ft (¦*:)), /?х (ft (•*:)), входящие в эти формулы, их явными выражениями, а затем сравним ядра получающихся операторов слева и справа.
Оператор Ry(gi(x)) переводит пару F (X) = (F+ (X), /\_(Х)) в пару Fto>(X) = (/yi>(X), F[s'* (X)), где
p + ioo
/*/•>(*)= j K+, (>., ц; X; ftW)F+(ix)^ix
p — ico
и (X) имеет аналогичное выражение. Оператор же Л+ переводит F^^Q.) в —(X — 1 )Fte')(\ — 1) (см. п. 5 § 2). Следовательно,
P + ioo
A-F'f1'(X) = (1 — X) j K^Q. — 1, (x; x; ft (¦*))fa)
p — <00
Точно так же устанавливается, что соответствующий оператор в правой части формулы (5) п. 1 имеет вид
у J [ (^ - х) К++ (X, ]х; х; ft М) + ) | F, (Iх)
р — /оо
Следовательно,
(1-X)tf++(X-1, jx; х; ft(Jc)) =
=i^ir-x)K^ w (x)) gAy)}¦
Подставляя в это равенство выражение (8) п. 6 § 2 для K^+igiit)), выводим рекуррентное соотношение для функции (л:):
«Ы?)=_^щ+1/1 „(,)
, 1 -X -11 , X--II а .
(мы заменили ----^— на X, —на |х и х‘ на л:).
410 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
Точно так же из рассмотрения элемента выводим рекуррентное соотношение для функции ЖХ[1(л:):
- (2)
Аналогично, равенство (6) п. 1 приводит к следующим двум рекуррентным соотношениям:
и
dx (2(х -
2х 2 /
>+1 м
2х 2 j
1
/2ц-1 +4
О V
Из равенства (7) п. 1 получаем соотношения
,_____1
2 1V/ , ч /2ц — 1 . 1\
?-= у*
а из равенства (8) п. 1 соотношения
= __ +.у_+1 /, (*> + p^+j. + ^ ^ f w m
и
dx
=J~(^TTv7 ЛЛ+"- '+,''w + ^ <8)
Из полученных формул легко вытекают соотношения, не содержащие оператора дифференцирования. Так, из (1) и (3) находим
(2[л — дг) U7* ц (л:) -|- (X — [х — yJ Vх —1/2, (i-t-V2 (¦*¦)
+ /*lFx + ./s. ll_./s(jc) = 0; (9)
из (3) и (7) находим ¦_1_
V*
-^x + 1/ii|1+1/i(jc)] = 0, (10)
§31 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ УИТТЕКЕРА 411
из (1) и (5) получаем
|1 0*0 yj + I1 — y) - ‘/2. I1 - Vs М 4"
+ W'x + Vs, ii-1/2w] = 0. (11)
Аналогично, из (2) и (4) имеем (х — 2^)Мх^{х)^-2^УхМх + Ч,„ ^_1/а(*) —
С М- — ^ ~ту')У х
-------Vfl ----* + ./,(*) = О, (12)
из (4) и (8) находим
-+'/,м+
-(- (\ -)- (X -)- yj Mx + 1/S, pi + l/2 w] =0> О3)
из (2) и (6) имеем
JJL С-^) 4“ у%(^Х + ‘/2. 1l-'/sC*) —^х-1/2. IJ.-V2 wj=0. (14)
3. Дифференциальное уравнение Уиттекера. Выведем теперь дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции Уиттекера Жх1(11(л) и Wx.n (-*:), Для этого заметим, что в силу формулы (1) п. 2 имеем
(Vx ix + 2^-^f)w^^x)= ~ *—чАх)-
Из формулы же (3) п, 2 получаем
(— у= + -^)^ + |/„ V.-./2 (л) = (X — (Д. + yj „(ж).
Отсюда следует, что
