Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что при выводе формулы (1) мы попутно получили выражение для размерности h (п, /) пространства S$nl однородных гармонических многочленов степени I от п переменных
А (я, l) = r(n, 1)-г(п, 1-2)= С-1+-п (~-g>. + L-3)1 , (11)
Из равенства (1) следует, что любой однородный многочлен /(х) степени I может быть представлен в виде
f(x) = hl(x)~\-r'2f1(x), (12)
где Л (х) ‘ ~2 и А/(х)?^п/—гармонический многочлен степе-
ни I, Будем в дальнейшем многочлен Аг(х) называть гармонической проекцией однородного многочлена /(х). Гармоническую проекцию многочлена /(х) будем обозначать через Hf(x).
Найдем явную формулу для гармонической проекции. Будем искать гармоническую проекцию многочлена /(х) в виде
\Ч 21
Hf(x)= 2 aftr2ftA*/(x), (13)
ft = о
где а0=1. Применим к обеим частям этого равенства оператор Лапласа Д и примем во внимание соотношение
Д (г2* Д*/) = 2k (я + 21 — 2k — 2) г2* -2 Д*/+ rik Д* +1 /
(см. формулу (4) п. 3). Мы получим
[Ч 21
ДЯ/(х)= 2 К + (2?+2)(л+2/-2?-4К + 11г2*Д* + 1/. (14)
§2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА I ГРУППЫ SO (л) 441
Равенство (14) показывает, что для того, чтобы многочлен, задаваемый формулой (13), был гармоническим, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ak удовлетворяли рекуррентному соотношению
ak Ч- 2) (п -|- 21 — 2k — 4) aft + j = 0.
Принимая во внимание, что a0= 1, получаем
\Ч 2]
Hf(X __________________________(— l)ft r2fe Afc/(x)____________
nj W ^ 2*А!(д + 2/ —4)(/г + 2/ —6)...(л + 2/ —2A —2) ' ;
k = 0
Формула (15) и задает гармоническую проекцию многочлена /(х)
6. Каноническое разложение однородных многочленов. В предыдущем пункте доказано, что
= гаГ’'-5. (1)
Применяя к аналогичное разложение и продолжая далее этот
процесс, получим
U/21
(2)
/г = 0
где Sr)n’ 1~'1к — подпространство в 5Rnl, состоящее из многочленов вида ггкк1_Чк(х), ht_ik(x) (=
Итак, доказано, что каждый однородный многочлен степени I от п переменных однозначно разлагается в сумму многочленов вида rikhl_tlk(x), где ht_ik (х) ? фл’ l~ik:
[И 2]
f(x)= 2 r‘lkhl_ik(x). (3)
k = 0
Это разложение назовем каноническим разложением многочлена /00.
Из равенства (3) вытекает, что на единичной сфере
[Ч 2]
/(!)= s hi-u(U (4)
А = 0
Иными словами, значение любого однородного многочлена /(х) степени I на единичной сфере совпадает со значением на этой сфере
U/2]
гармонического (неоднородного) многочлена h (х) = У! /гг-2А (х).
* = о
Поэтому при рассмотрении многочленов на единичной сфере достаточно ограничиться гармоническими многочленами.
442
группа вращений л-мерного пространства
[ГЛ. IX
Поскольку г2 = л:® -|- ... -|— х% не меняется при вращениях g из SO(ri), то из разложения (3) следует, что
142]
Lnl(g)f(x)=f(g~1x) = 2 r^h^utg-'x). (5)
Так как при ht._ik (х) ? Jq'uимеем
Hn'l-*k(g) hl_u(x)=hl_%k (g1 x), (6)
то из равенства (5) следует, что
\Ч2]
Lnt{g)= 2 Hn'l-*k{g). (7)
k = 0
7. Разложение квазирегулярного представления. Мы построили выше унитарные представления класса 1 Tnl (g) группы SO (ri). Покажем, что квазирегулярное представление
L(g)/a)=f(g-ii) со
этой группы является прямой суммой представлений Tnl (g):
СО
L(g)= Ц Tnl(g). (2)
1 = 0
Представление L(g) строится в пространстве 1г2(6,л~1) функций на единичной сфере, имеющих интегрируемый квадрат модуля. Рассмотрим в этом пространстве подпространства, состоящие из значений на сфере Sn~1 функций h(x) из Будем обозначать эти подпространства также через Jq"1. Очевидно, что они инвариантны относительно операторов квазирегулярного представления.
Сужение квазирегулярного представления на $п1 есть представление Tnl (g), а при 1ф т представления Tnl (g) и Tnm(g) неэквивалентны. Поэтому подпространства jQnt и $пт, 1ф т, ортогональны друг другу. Иными словами, если Ai(l) ?<?>"* и то
