Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
p + ioo
$ к++ (X, V; •/; g+(x))K++(% у\ gl(t))d'> =
р — ico
fx , ,
= <? 2 IJ.; x; gi(0).
Подставляя выражения для А'+ДХ, ч; у, g+(x)) и т, д., приходим к равенству
1 р+е,с°
^ $ ГМх-^_,д * + ,/а (*»)*- =
р — icO
= e-w (l +^~mwK „ (t* + tx), (2)
где
Rev>0>Re^X— !*¦ —у) и ^^>0, л:^>0.
Полученную формулу можно рассматривать как формулу обратного преобразования Меллина функции
F (ч) = Т (у) U^x^v/2, [t-i-v/2 (^'2).
Поэтому в силу формулы обращения преобразования Меллина (см, п. 2
§ 4 главы II) имеем при t^> 0
СО
j x-'e-t*l'>{\+XjJ~'r2 WK v.{t*+tx)dx = Y{4)Wx^lw^{t\ (3)
о
Положим теперь в формуле (1) х=—_У<^0, ?^>0. Тогда, сравнивая элементы К_+, получаем аналогичным путем при 0 <^у <^t:
Р+/СО
Jl =ъа j г (2[л +1+ iTу ^~v2, ii+v/2(^)^v =
^ — ico
=TWTi)(1-fr,,Vfp’-w. (•»
где
Rev>0>Re (\ — Ц —у), Re(x + fi-f у)>°;
ПРи y^t^>0 имеем ^ = 0, где X, ц, v удовлетворяют тем же нера-
венствам.
§4] ИНТЕГРАЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ УИТТЕКЕРА 419
В силу формулы обращения для преобразования Меллина имеем
Sу“1е0,/2(! ~~ fУ~'/2мх’ *(t*~ W=
О
= r(»+Vi+l) (5)
Рассматривая произведение g+ (jc) (t), приходим аналогичным путем к следующим соотношениям.
Если 0 <^x<^t, то
р + ICO
Ji=2^ J ——^—-^^+v/2>11+v/2^)^=
р-
^соГ^ + ^ + ^ + тг
=____“il____(l-ff '"«4,1'*-W. (6)
r(f + » + 4
где
Re v > 0 > Re ^^— X — ц j и Re (|л - X -<0. (7)
Если же то
J,= ,’~“П A\-\YWW_Kt(tx-f), (8)
г('—1+т) ’
где X, jj., v удовлетворяют тем же неравенствам (7).
Далее, при 0<^x<^t имеем
P-I-«оо
Уз — 2ж{ J "Г („ + 2,1+17 ¦* +f „ (**} ds =
р — гоэ * L
g—xf/2 j" х \v-~ 1/2
P + <00
~T N Л- 9al ХТГ X
г(2(i +1) v' J" (»>
где X, |j,, v удоплетворяют тем же неравенствам (7). Если же x^>t^> )>0 и 1, [1, v удовлетворяют неравенствам (7), то /3 = 0.
Наконец, при 0<^t<^x имеем
р rfi- — X—(1 — ¦
'-i S 1 +±<Р><*=0, (Ю)
р — ico Z Z
где
Re ^X -)- |j, -)- v y) 0, Re ^ +11 + yj 0, Re ^X — ^ — y) <C 0.
420 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
Если же x^>t^>0, то
^=YWTT){T-i),'~'r‘ (11)
где X, jj,, v удовлетворяют неравенствам (7).
Применяя формулу обращения для преобразования Меллина, выводим из равенства (9) и из того факта, что У3 —0 при л:^>^^>0, соотношение
Г (2,1+1) 5 х"Ле-х1П (! - , (t! - tx) dx =
о
= Т> + ?>+Т)-Л1и-.л..+.яП <12>
Из формул (6) и (8) аналогично выводится, что
ОО
J 1 )^'/2Ж_х, „(tx-fi)dx =
t
I_X_______^
2Г(1_;^+v/2. ,+v/2n (i3) Отметим еще соотношение
p + /cO
Ы S r(v)r(l-X-^-v)Jr'^x+,/3iIl+,/2(Odv =
p —ico ,
= Г(|_Х-1л)Д(1+^),1_^Х111(^ + 0, (14)
где
0‘<^Rev<^Re^- —X —jxj и Re (X — jj.) <[у.
Оно вытекает из рассмотрения g+(—x)gi(t) при x^>0, t^>0.
В силу формулы обращения Меллина имеем
СО ]
Г (у — X — I*) 5 'eXi/2 (* + jf~*WK n (tx + P)dx =
6
= Г (v) Г ---X — (i — vj U^x-i-v/2, pi +v/2 (t2). (15)
3. Континуальные теоремы сложения. Чтобы получить континуальные теоремы сложения для функций Уиттекера, рассмотрим матрицы вида
&(*i)e СО «>(*»). (!)
§4] ИНТЕГРАЛЫ. СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ УИТТЕКЕРА 421
где I и j равны 1 или 2, а матрицы е(х), ft (О задаются формулами (4), (6) и (7) п. 1 § 2. Как было доказано в п. 2 § 2,
матрицу (1) можно представить в виде
ft Vi) е СО gj ОУ = е (“ti) gk (г) е (х — г (Ь), (2)
где г (b) определяется формулой (3) п. 1 § 2, a gk (г) является матри-
цей одного из четырех типов:
ft О), gi (г), ft. (г) или g _ (г).
Мы знаем, что матрице z (b) соответствует оператор умножения
на еаЬ, а матрице е(т) — оператор умножения на Поэтому
