Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 165

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 241 >> Следующая


z(t)g = gz{t).

Наряду с подгруппами g+(t) и g_(t) будем рассматривать однопараметрические подгруппы в 0\

(6)

И

11 -* -V

gs (0 = О 1 t ¦ (7)

Им соответствуют касательные матрицы:

{0 1 0^

— ах = I 0 0 1 j = а+ -)- а_

\0 0 0У

и

1° -аг = (О

\0

Коммутационные соотношения для а, и о, следуют из формул (5).
§ 2] ГРУППА ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 401

2. Разложение по одно параметрическим подгруппам. Пусть

/1 а Ь\

g (a, b, d, т) =: 0 ет d j

^0 0 1 /

— элемент группы О, Если d = 0, то, как показывает простая про-

верка, имеет место равенство

g(a, Ь, 0, x) = e(x)g+(a)z(b). (1)

Точно так же, если а = 0, то

g (0, b, d, т) = е (т) g _(de~%) z (b). (2)

Рассмотрим теперь случай, когда а ф 0 и b ф 0. Тогда при ad^> 0 справедливо равенство

g(a, b, d, т) = е(т,)§-1(/')е(т — *t)z(b), (3)

где

г1 —ade '1, sign г = sign d,

^=d- = l/r * Д

г га

(4)

Если же ad <^ 0, го

g(a, b, d, ¦с)=е('с1)й(г)е(т — ^)z(b), (5)

где

r> =— ade т, sign г = sign d, j

^ i .(6)

г У а

Таким образом, в любом случае элемент g из Q может быть представлен в виде

g(a, Ъ, d, z) = e(z1)h(r)e(z~zl)z(b), (7)

гдe h(r) — элемент одного из следующих четырех видов: g+(r), g_-(r), gi(r)> gi(rX В первых двух случаях т1 = т.

3. Неприводимые представления группы Gf. Неприводимые представления группы Ох строятся в пространстве 2) финитных бесконечно дифференцируемых функций на вещественной прямой. Каждое представление задается парой ^ = (о, со) комплексных чисел. Именно, каждому элементу g=(a, b, d, т) группы Q ставится в соответствие оператор

Тг (g)f(x)= (е'х + а) (1)

в пространстве 2).
402

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII

Если Re о ф 0, то это представление нельзя распространить на пространство функций с интегрируемым квадратом (из-за экспоненциального роста множителя ea(rf*+&)).

Легко показать, что при а ф 0 представление Тг (g) неприводимо. Мы не будем проводить соответствующего рассуждения.

Вычислим инфинитезимальные операторы представления Тх (g), соответствующие подгруппам g+(t), g_(t), z(t), z(t). Из формулы (1) следует, что

Поэтому подгруппе g+(t) соответствует инфинитезимальный оператор

Точно гак же доказывается, что подгруппе g_(t) соответствует инфинитезимальный оператор

Наконец, подгруппе е (t) соответствует инфинитезимальный оператор

Предоставляем читателю проверить соотношения коммутации для этих операторов.

4. Другая реализация представлений T%(g). Как и в случае группы SL (2, R), перейдем теперь к другой реализации представлений Тх (g). Именно, выберем реализацию, при которой диагональным матрицам е(т) соответствовали бы операторы умножения на функцию.

С этой целью, как и в главе VII, каждой функции f (х) из 2) поставим в соответствие пару функций F+(k) и F_(k):

Tx[g+(t)]f(x)=f(x+t).

(2)

A f(x) = axf(x),

(3)

а подгруппе z(t) — оператор

Zf{x) = cf{x).

(4)

Ef (x) = a)/ (jc) -|- xf (jc).

(5)

то подгруппе gx (t) соответствует

инфинитезимальный оператор

A\f (x) =z (A. -j- A) f (x) — axf (л:) -\-f' (л:). (6)

Точно так же подгруппе gi(t) соответствует оператор

A,f(x) = (A_ — AJf(x) = oxf(x)—f(x). (7)

ОО

-СО

СО

• (1)

F (К) = \ f(x) хкгЫх.

•СО
f{x) =

§ 2] ГРУППА ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 403

Эти функции заданы в полуплоскости ReX^>0. Как отмечалось в главе VII, имеет место формула обращения
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed