Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
z(t)g = gz{t).
Наряду с подгруппами g+(t) и g_(t) будем рассматривать однопараметрические подгруппы в 0\
(6)
И
11 -* -V
gs (0 = О 1 t ¦ (7)
Им соответствуют касательные матрицы:
{0 1 0^
— ах = I 0 0 1 j = а+ -)- а_
\0 0 0У
и
1° -аг = (О
\0
Коммутационные соотношения для а, и о, следуют из формул (5).
§ 2] ГРУППА ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 401
2. Разложение по одно параметрическим подгруппам. Пусть
/1 а Ь\
g (a, b, d, т) =: 0 ет d j
^0 0 1 /
— элемент группы О, Если d = 0, то, как показывает простая про-
верка, имеет место равенство
g(a, Ь, 0, x) = e(x)g+(a)z(b). (1)
Точно так же, если а = 0, то
g (0, b, d, т) = е (т) g _(de~%) z (b). (2)
Рассмотрим теперь случай, когда а ф 0 и b ф 0. Тогда при ad^> 0 справедливо равенство
g(a, b, d, т) = е(т,)§-1(/')е(т — *t)z(b), (3)
где
г1 —ade '1, sign г = sign d,
^=d- = l/r * Д
г га
(4)
Если же ad <^ 0, го
g(a, b, d, ¦с)=е('с1)й(г)е(т — ^)z(b), (5)
где
r> =— ade т, sign г = sign d, j
^ i .(6)
г У а
Таким образом, в любом случае элемент g из Q может быть представлен в виде
g(a, Ъ, d, z) = e(z1)h(r)e(z~zl)z(b), (7)
гдe h(r) — элемент одного из следующих четырех видов: g+(r), g_-(r), gi(r)> gi(rX В первых двух случаях т1 = т.
3. Неприводимые представления группы Gf. Неприводимые представления группы Ох строятся в пространстве 2) финитных бесконечно дифференцируемых функций на вещественной прямой. Каждое представление задается парой ^ = (о, со) комплексных чисел. Именно, каждому элементу g=(a, b, d, т) группы Q ставится в соответствие оператор
Тг (g)f(x)= (е'х + а) (1)
в пространстве 2).
402
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
Если Re о ф 0, то это представление нельзя распространить на пространство функций с интегрируемым квадратом (из-за экспоненциального роста множителя ea(rf*+&)).
Легко показать, что при а ф 0 представление Тг (g) неприводимо. Мы не будем проводить соответствующего рассуждения.
Вычислим инфинитезимальные операторы представления Тх (g), соответствующие подгруппам g+(t), g_(t), z(t), z(t). Из формулы (1) следует, что
Поэтому подгруппе g+(t) соответствует инфинитезимальный оператор
Точно гак же доказывается, что подгруппе g_(t) соответствует инфинитезимальный оператор
Наконец, подгруппе е (t) соответствует инфинитезимальный оператор
Предоставляем читателю проверить соотношения коммутации для этих операторов.
4. Другая реализация представлений T%(g). Как и в случае группы SL (2, R), перейдем теперь к другой реализации представлений Тх (g). Именно, выберем реализацию, при которой диагональным матрицам е(т) соответствовали бы операторы умножения на функцию.
С этой целью, как и в главе VII, каждой функции f (х) из 2) поставим в соответствие пару функций F+(k) и F_(k):
Tx[g+(t)]f(x)=f(x+t).
(2)
A f(x) = axf(x),
(3)
а подгруппе z(t) — оператор
Zf{x) = cf{x).
(4)
Ef (x) = a)/ (jc) -|- xf (jc).
(5)
то подгруппе gx (t) соответствует
инфинитезимальный оператор
A\f (x) =z (A. -j- A) f (x) — axf (л:) -\-f' (л:). (6)
Точно так же подгруппе gi(t) соответствует оператор
A,f(x) = (A_ — AJf(x) = oxf(x)—f(x). (7)
ОО
-СО
СО
• (1)
F (К) = \ f(x) хкгЫх.
•СО
f{x) =
§ 2] ГРУППА ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 403
Эти функции заданы в полуплоскости ReX^>0. Как отмечалось в главе VII, имеет место формула обращения