Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
p + ioo
JL j F+(p)x»dp, x>0,
p is (2)
2\ F- (t0 (— ¦*)'dP’ x<°-
{ p — ico
Выясним, в какие операторы переходят операторы представления Tx(g) при этом преобразовании. Для этого найдем пару = (F^\ F^), соответствующую функции
f{^(x)= TL (g)f(x).
Мы имеем
ОО 00
F[V (X) = ^ Тг (g) f {х) хх+ 1 dx = сш~-+аЬ ^ е*я* f (е'-х + а) хх± 1 dx.
— СО —00
Подстановка ехх -\- а=у преобразует это равенство к виду
F± (X) = ехР [С10 — X) т -|- о (b — a de~x)\ X
00
X 5 ехР t0 de~xy\ (у — affxf Су) dy. (3)
— со
Чтобы получить искомые операторы, нам осталось в равенстве (3) функцию f{y) заменить по формуле обращения (2). Мы получим
Я*>(Х) = 2^ ехр [(со — X) т -f о (b — ade~т)] X
оо p-f-ioo
X [\ \ ехР [ade-^y-» {у — a)^r‘ F+ (|х) dp dy +
О р — юо
со р *оо
+ 5 $ ехр [— о de у\ у-(—у — а)кь 1 F__ (|х) dp dy\. (4)
О р — ico
Формально меняя порядок интегрирования, получаем из формулы (4)
П?)(Х) =
р 4* foo р -f- ico
= S ^++ (X. К х; g) F-, (Iх) Ф + \ К+- (X, W х; g)F - (l*) Ф (5)
р — ico р — i со
И
F{P (X) =
p-f-100 p-f-/o°
= S. *-+(*.КХ;«)'7+(|0^ + [ A"- _ (X, ]x; x; g) F_ (]x) dp. (6)
p — ico p — ico
404 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
Здесь
K++Q., ц; ¦/;, g) =
со
= 2^1 ехр [((й — *) * + 0 (b — a rfO] § ехР [ade^y-* (у — а)\~Чу, (7)
о
- (К W х; «) = 2^ ехР [(о> — X) т + а (6 — ade-1)] X
ОО
X \ ехР [— 0 de xy\y *(—у — а)\" 1 dy. (8) о
К_+ получается из К++ заменой (у — а)*~1 на (у — а)х_г~\ а К..— получается из К+- заменой (—у — я)+—| на (—у — а)*~'.
Однако, в отличие от случая гипергеометрической функции, изученного в главе VII, здесь при Re о ф 0 невозможно указать общую область, в которой имеют смысл все написанные формулы. Например, если а~^> 0, ^^>0 и Rea<^0, то интегралы, выражающие К++, К+-и А1+, сходятся при Re[j.<M, ReX^>0. Интеграл же, выражающий К_____, расходится. Поэтому в рассматриваемом случае вместо форму-
лы (6) надо писать
p + iod
Я*> (X) = 5 К_+ (X, ц; g) F+ F (X), (fl)
p —• ico
где Я___уже не является интегральным оператором.
В случае, когда Reo = 0, существует общая область сходимости всех интегралов для К++, К+^, А1+, К_________ Именно, эти интегралы схо-
дятся в области Re|j,<^l, ReX^>0, Re|j,^>ReX.
Если g=e(x), то удобнее непосредственно вычислить Я^(Х) и F^P (К). Мы имеем
Тг[*Ш(х) = е”/(е'х).
Поэтому
ОО
ЯМ (X) = ешт ^ / (ezx) xk~1 dx=
— ОО
ОО
_е(т-Х)т ^ f(y)yxiTl dy = e(m~x^F+(k). (10)
— ОО ”
Итак, диагональным матрицам е(т) соответствует оператор умножения на функцию е(ш~х)т.
Точно так же доказывается, что матрице вида z (b) соответствует оператор умножения на е~ь.
В дальнейшем операторы представления Tx(g) после перехода к реализации в пространстве пар F (X) = (F+ (X), F_ (X)) будем обозначать через Rx (g). Иными словами, полагаем
fe) F (X) = F(*-> (X). (И)
I 2) ГРУППА ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 405
5. Инфинитезимальные операторы представления Вычис-
лим теперь инфинитезимальные операторы Л+, Л_, Z и Е для представления R1(g). Чтобы найти оператор, соответствующий подгруппе g+(t), надо найти преобразования Меллина функций A+f (x)=f'(х) и A+f(—х)=/'(—л:). Преобразование Меллина для А+/(х) имеет вид
ОО ОО
A+F+ (X) = § A+f (¦*¦) ^ 1 dx = <\) f (х) хх"_1 dx =
о о
ОО
= — (X — 1) $ f{x) х1-* dx = — (X — 1) F+ (X — 1).
О
Аналогично доказывается равенство
(X)=(X — 1) /=•_ (X — 1).
