Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
I
Ф & т; *) = г^г^-а) S w (1 - »rldu. (5)
о
При а = — п оно теряет смысл. Но в теории обобщенных функций *) доказывается, что
Ит (±т?5~1=8Св)(1~н)-
а -+ — п \ '
Поэтому, переходя в равенстве (5) к пределу при а —* — п, получаем
ф(___я- т у) — Г(~Г)е* их 1- а -1\
п, (, ^ —Г(7 + я) dua(e » )
Принимая во внимание соотношение (1), имеем
и-1
Подстановка их=у преобразует это соотношение к виду (4).
Установим в заключение соотношение ортогональности для многочленов Лагерра. Оно имеет следующий вид:
со Г 0, если щфп,
\ xae-xLam (х) Lan(x)dx = \ г (а + л + 1) (6)
о I -----п\ > если т = п-
Справедливость равенства (6) при т<^п легко доказывается путем подстановки вместо Lam(x) и L^,(x) из выражения (4) и (т -(- ^-крат-ного интегрирования по частям. Так как Lam(x)—многочлен т.-й степени, то он при этом обращается в нуль.
В случае т = п доказательство проводится точно так же. После /г-кратного интегрирования по частям получаем
со оо
j хле~х [Ln (х)]2 dx = 1 J e xxavndx.
*) См. [[8], глава 1, § 3, п. 5.
428 ^ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ (ГЛ. VIII
Применение равенства (1) п. 4 § 1 главы V приводит к требуемому результату.
В заключение отметим, что при | г | <^ 1 имеет место равенство
ОО
*-«(!+*)«= 2 Ll~n(x)zn, (7)
/1 = 0
непосредственно доказываемое разложением функций в левой части по степеням z и умножением получающихся рядов.
2. Группа комплексных треугольных матриц третьего порядка и многочлены Лагерра. Чтобы вывести теорему сложения для многочленов Лагерра, установим связь между этими многочленами и представлениями группы Gi матриц вида
/1 а Ь\
О с d ' >
\о 0 1 /’
где а, Ь, с, d — комплексные числа, с ф 0. Среди представлений этой группы есть представления, являющиеся «аналитическим продолжением» представления Tx(g) группы G из п. 3 § 2. Они задаются формулой
Тг (g)f(z) = f(cz + а),
причем операторы Tx(g) действуют в пространстве целых аналитических функций экспоненциального типа.
Естественным базисом в пространстве целых функций является набор одночленов {zk}, 0 sg: k<^oo. Вычислим матричные элементы представления Tx(g) в этом базисе. Мы имеем
Тг (g) (zn) == cme°idz+b) (cz -f af.
Отсюда, используя равенство (7) п. 1, получаем
СО
Тг ig) (.гп) = 2 Ca+kanke°b Lnk~k{~a~^ zk.
* = о
Следовательно, искомые матричные элементы выражаются следующим образом:
Используя теперь равенство
Тг (ft) Тг (ft) = Т7 (ftft),
§ 5[ МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА 429
легко вывести формулу сложения для многочленов Лагерра. Именно, полагая а= — 1,
/1 fll (1 а.2 ь.
gl= 0 Cl 0 С<1
1
w®*
$0
\0 0 1/ \о 0 1
и вводя числа а, b, х, у соотношениями
1 ^2 ^1 > j а = аъ Ь = * = --¦. y = d.2,
t2
получаем
со
Lak[(a + b)(x+y)] = (a + by*e?y ? атЬл~mL% (ах) L\+l (by), (2)
т = — k
где | я | <CI ^ I (мы заменили « на a-fi и я на m-\-k). В частности, полагая
a=rlez/‘i, x=rle~T/*, Ь—г^е-'К, у=г,гех^,
где Г!^>0, г2]>0, —2и<^т<^2г., получаем соотношение 1-1 (п -|- /"5 —(— 2rtr4 ch т) =
СО
тп = — k
где 1 г1ех 1 га. При т = е,(р соотношение (3) принимает следующий вид:
1Л (f"i 2г !Г2 cos ср) =
= (F^eh+ Го) “еГ‘Г2 “S т [cos (^l^ sin ср] -f / sin(ri^2 sin ср)] X
ОО
х 2 (4)
т — -~ к
где — тс ^ ср тс, 0 г i г4.
ГЛАВА IX
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА
Рассмотренные до сих пор классы специальных функций (функции и многочлены Лежандра, функции Бесселя, функции Ганкеля, Макдональда, Уиттекера) были связаны с представлениями простейших групп, состоящих из матриц второго или третьего порядка. Мы переходим сейчас к изучению специальных функций, связанных с представлениями более сложных групп. Начнем с группы SO(ri) вращений «-мерного евклидова пространства. С этой группой связаны специальные функции, называемые многочленами Гегенбауэра.
