Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
1. Сферические координаты. Будем обозначать векторы я-мер-ного вещественного евклидова пространства Еп через х = (л‘!, ..., х„), а их длину будем обозначать через || х || или г. Совокупность векторов вида (jclf..., хк, 0, ..., 0) будем обозначать через Ек, единичную сферу в Еп — через S"-1. Очевидно, что Sn"1 можно отождествить с совокупностью векторов единичной длины. Как правило, единичные векторы будем обозначать через §, ц.
Введем теперь в пространстве Еп сферические координаты г, 01;... . ..,0„_i. Они связаны с декартовыми координатами хи...,хп формулами
При этом числа г, 01;..., 0„меняются в следующих пределах:
§ 1. Группа SO (и)
Xi = Г sin 0п Л . . . sin 02 Sl'n 0J, Хч=г sin 0„ л . . . sin 02 COS 0!,
(1)
хпЛ= r sin 0„_! cos 0„__2, xn=rcos 0„_J.
0 sc; r oo, 0^0, 2ir,
0 sg0*<3
(2)
ГРУППА SO (л)
431
Очевидно, что для любой точки х (j^,..., хп) из Еп найдется система параметров г, 0!,..., 0„_i, связанная с ней формулами (!) и лежащая в области (2). При этом почти для всех точек х') такая система параметров однозначно определена.
Параметры г, 0i, ...,0„_i выражаются через декартовы координаты по формулам
cos0ft = J*±-\ . (3)
Г k+l
sin 0fe= (4)
Г k+l
Г = Тп, (5)
где положено
г%=х%. (6)
При фиксированном г точка х (г, 01;..., 0„_i) пробегает сферу
радиуса г. Поэтому числа 0Ь ...,б„_л можно рассматривать как координаты на единичной сфере S"-1. Мы будем называть их сферическими координатами.
Найдем выражение для меры на сфере инвариантной при
вращениях сферы вокруг начала координат. Заметим, что мера dx = = dxx...dxn в евклидовом пространстве инвариантна относительно этих вращений, равно как и обобщенная функция 8 (г—1). Поэтому, полагая для любой непрерывной функции /(§) на S""1
5/(S)rfS=i4j/(x)8(r-l)rfx, (7)
где А — любое положительное число, мы и получим инвариантную
меру на б1"-1 (через /(х) в этом равенстве обозначена любая непре-
рывная функция в евклидовом пространстве, совпадающая на б1"-1 с функцией /(!)).
В декартовых координатах формула (7) принимает вид
dt=-Adx\'i'd\Xn-1-- (8)
Перейдем от декартовых координат к сферическим координатам 0i,..., 0„_i. Элементарный подсчет показывает, что
= sin»-* Ьп_л ... sin 0<j d\ ... dnn
Поэтому
d\ = A slnл_20л_1... sln 02 d01... й?0„_j.
J) Мы говорим, что некоторое утверждение справедливо почта для всех точек многообразия ЯЛ, если точки, где оно неверно, образуют многообразие меньшей размерности.
432
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IX
Подберем постоянную А так, чтобы мера всей сферы равнялась единице. Так как
о
J sin* 1 0* dOk
И
о
$ d% = 2тг
. Г (л/2) „
то А = —Поэтому
d-l — sin— 0„_i... sin 02 rf0j... rf0„_L
(9)
2. Описание группы 50 (л). Вращениями евклидова пространства Еп называют линейные преобразования g этого пространства, не меняющие его ориентации и оставляющие инвариантным расстояние точек от начала координат:
Вращения «-мерного евклидова пространства Еп образуют группу* которую мы будем обозначать через SO(ri).
Выберем в пространстве Еп ортонормированный базис ............
Обозначим через SO (/г) подгруппу группы SO(ri), состоящую из
вращений, оставляющих инвариантными векторы §А+1............|л этого
базиса. Сферу S’Л-1 можно отождествить с пространством левых классов смежности группы SO(ri) по подгруппе SO(n—1). В самом деле, вращения из подгруппы SO(n—1) (и только они) оставляют инвариантным вектор Иными словами, эта подгруппа является стационарной подгруппой точки (О, 0, ..., 1) единичной сферы. Так как SO(n) является транзитивной группой преобразований сферы 6,л“1, то сферу S""1 можно отождествить с SO(n)/SO(n— 1). При этом отождествлении левому смежному классу, состоящему из элементов вида {g'/г}, h?-SO(n— 1), ставится в соответствие вектор g-|„. В дальнейшем вектор g%n будем часто обозначать через |г.
Каждому элементу g9 из группы SO(n) соответствует преобразование
в фактор-пространстве SO(ri)/SO(n—1). Легко проверить, что при этом имеет место равенство
llg*ll = 11*11-
{gh} — ко?Й}, h?SO(n— 1),
§sos —
(2)
Это равенство означает, что преобразованиям (1) в фактор-пространстве соответствуют вращения сферы.
ГРУППА SO (л)
433
3. Углы Эйлера. Мы видели в п. 6 § 1 главы III, что весьма удобными параметрами на группе б’О(З) вращений трехмерного евклидова пространства являются углы Эйлера ср, 0, ф. Обобщим эту параметризацию на группу SO (п) при любом п.
