Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 176

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 241 >> Следующая


Обозначим через ?д(а) вращение на угол а в плоскости (xj, xk), ориентированной так, что положительным считается вращение от вектора |j к вектору |А. Для краткости вращение ?*+1^(а) будем обозначать через gk (а). Покажем, что любое вращение g из группы SO(n) можно представить в виде произведения вращений gk(а).

Теорема 1. Любое вращение g из группы SO(ri) может быть представлено в виде

g=g^l] (1)

где

gW = g1(^)...gk(^). (2)

Доказательство. Теорема очевидна при п= 2, так как в этом случае g является вращением в плоскости (j^, jc.2), g=gi(Q)-Предположим, что она доказана для группы SO(n — 1), и докажем ее для SO(n). Пусть g—элемент группы SO (я). Обозначим через сферические координаты вектора и рассмотрим

вращение

g(»-‘)=^(0»-i)...g„_1(0Sz{). (3)

Подсчитаем, в какой вектор переходит вектор при вращении g^ 1)-Вращение х (6^~ J) записывается следующим образом:

x„„i = x„_icos blz\-\-xn sin 0л —!,

х'п = — хп_\ sin ftnnZ\-\-xn cos e^zj.

Поэтому вектор |„(0, 0, ..., 1) переходит при этом вращении в вектор g-„_i(0"ll)|„ с координатами

(О, 0...sin 0"~г, cos 0"li).

Повторяя это рассуждение и принимая во внимание формулу (3), убеждаемся, что g*""l)!„ = g'!n. Поэтому [g'('I“l)r1g'I„ = In и, следовательно, вращение [g"''1]'"1g' принадлежит подгруппе SO(n—1). По предположению индукции, имеем

где — вращение вида (2). Поэтому

Теорема доказана.
434 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX

Легко показать, что почти для всех элементов g группы SO(ri) запись (1) единственна (исключение представляют случаи, когда один из углов 0*, 2 s— 1, обращается в нуль или тг). Назовем числа 0*, l^ks^n—1, 1 j k, (5)

углами Эйлера вращения g. Эти числа однозначно определяют g. При этом из проведенного построения видно, что углы Эйлера изменяются в следующих границах:

О<0*<2я,

о<0*О, }Ф\. ( (6)

Из проведенного построения ясен геометрический смысл углов Эйлера: углы 0*,..., 0* являются сферическими координатами вектора

r]k+i = [g(n~1)...g(k+1)r1gill+i, (7)

где вращения g-(/) определяются формулами (4).

Отметим, что вращение g можно записать не только в виде (1), но и в виде

g — S(i)g(*) ¦¦•g(n ij> (8)

где

g( h j = gk (°k ~') gk -1 0k--1) ¦ • • g (6"'~'*)• (9)

Это следует из того, что вращения gj (а) и gh (Р) перестановочны при

1У-*|>1.

4. Инвариантное интегрирование. Из геометрического смысла углов Эйлера легко получить выражение для инвариантной меры на группе SO(n). Именно, это выражение имеет вид

dg= Aa"f[ fi sln'-'tf df?}, (1)

*=i;=i

где

" т(к'

Лв“Н • (2)

Действительно, вращение g однозначно определяется векторами

4ft+i = • • • ^<ft+l)]“1 glk+1. 1 < k < n - 1,

лежащими-на сферах Sk, —1. Легко видеть, что при за-

мене вращения g на вращение gg0 векторы T]ft заменяются векторами гДе g[k> — некоторое вращение сферы Sk (зависящее, вообще говоря, не только от g0, но и от g).
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА 1 ГРУППЫ SO (л)

435

Так как при вращениях ^ евклидовы меры на сферах S*

остаются инвариантными, то мера

dg=d%...dr\n на группе SO(n) инвариантна при замене g на gg0.

Но углы Эйлера 0f, являются сферическими координатами

вектора г)А+1. Учитывая выражение евклидовой меры на сфере S* в сферических координатах (см. формулу (9) п. 1), мы приходим к выражению (1) для инвариантной меры dg на группе SO(n).

Из равенства (1) п. 3 вытекает, что каждый элемент g группы SO(ti) задается элементом

h = g{n^)...g{l)

подгруппы SO(n—1) и точкой г] на сфере S'1-1 со сферическими координатами 0"~Ojjz}. Из формулы (1) вытекает, что

dg=dh dx\. (3)

§ 2. Представления класса 1 группы SO (п) и гармонические многочлены

1. Квазирегулярное представление. Изучение представлений группы SO (п) начнем с рассмотрения ее квазирегулярного представления. Группа SO (п) является транзитивной группой преобразований «-мерной единичной сферы S'1"1. Обозначим через S2(Sn_1) пространство функций /(|) на сфере S!l 1, для которых сходится интеграл

Н/1Р= 5 1/(1) 1^1 СО
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed