Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через ?д(а) вращение на угол а в плоскости (xj, xk), ориентированной так, что положительным считается вращение от вектора |j к вектору |А. Для краткости вращение ?*+1^(а) будем обозначать через gk (а). Покажем, что любое вращение g из группы SO(n) можно представить в виде произведения вращений gk(а).
Теорема 1. Любое вращение g из группы SO(ri) может быть представлено в виде
g=g^l] (1)
где
gW = g1(^)...gk(^). (2)
Доказательство. Теорема очевидна при п= 2, так как в этом случае g является вращением в плоскости (j^, jc.2), g=gi(Q)-Предположим, что она доказана для группы SO(n — 1), и докажем ее для SO(n). Пусть g—элемент группы SO (я). Обозначим через сферические координаты вектора и рассмотрим
вращение
g(»-‘)=^(0»-i)...g„_1(0Sz{). (3)
Подсчитаем, в какой вектор переходит вектор при вращении g^ 1)-Вращение х (6^~ J) записывается следующим образом:
x„„i = x„_icos blz\-\-xn sin 0л —!,
х'п = — хп_\ sin ftnnZ\-\-xn cos e^zj.
Поэтому вектор |„(0, 0, ..., 1) переходит при этом вращении в вектор g-„_i(0"ll)|„ с координатами
(О, 0...sin 0"~г, cos 0"li).
Повторяя это рассуждение и принимая во внимание формулу (3), убеждаемся, что g*""l)!„ = g'!n. Поэтому [g'('I“l)r1g'I„ = In и, следовательно, вращение [g"''1]'"1g' принадлежит подгруппе SO(n—1). По предположению индукции, имеем
где — вращение вида (2). Поэтому
Теорема доказана.
434 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Легко показать, что почти для всех элементов g группы SO(ri) запись (1) единственна (исключение представляют случаи, когда один из углов 0*, 2 s— 1, обращается в нуль или тг). Назовем числа 0*, l^ks^n—1, 1 j k, (5)
углами Эйлера вращения g. Эти числа однозначно определяют g. При этом из проведенного построения видно, что углы Эйлера изменяются в следующих границах:
О<0*<2я,
о<0*О, }Ф\. ( (6)
Из проведенного построения ясен геометрический смысл углов Эйлера: углы 0*,..., 0* являются сферическими координатами вектора
r]k+i = [g(n~1)...g(k+1)r1gill+i, (7)
где вращения g-(/) определяются формулами (4).
Отметим, что вращение g можно записать не только в виде (1), но и в виде
g — S(i)g(*) ¦¦•g(n ij> (8)
где
g( h j = gk (°k ~') gk -1 0k--1) ¦ • • g (6"'~'*)• (9)
Это следует из того, что вращения gj (а) и gh (Р) перестановочны при
1У-*|>1.
4. Инвариантное интегрирование. Из геометрического смысла углов Эйлера легко получить выражение для инвариантной меры на группе SO(n). Именно, это выражение имеет вид
dg= Aa"f[ fi sln'-'tf df?}, (1)
*=i;=i
где
" т(к'
Лв“Н • (2)
Действительно, вращение g однозначно определяется векторами
4ft+i = • • • ^<ft+l)]“1 glk+1. 1 < k < n - 1,
лежащими-на сферах Sk, —1. Легко видеть, что при за-
мене вращения g на вращение gg0 векторы T]ft заменяются векторами гДе g[k> — некоторое вращение сферы Sk (зависящее, вообще говоря, не только от g0, но и от g).
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА 1 ГРУППЫ SO (л)
435
Так как при вращениях ^ евклидовы меры на сферах S*
остаются инвариантными, то мера
dg=d%...dr\n на группе SO(n) инвариантна при замене g на gg0.
Но углы Эйлера 0f, являются сферическими координатами
вектора г)А+1. Учитывая выражение евклидовой меры на сфере S* в сферических координатах (см. формулу (9) п. 1), мы приходим к выражению (1) для инвариантной меры dg на группе SO(n).
Из равенства (1) п. 3 вытекает, что каждый элемент g группы SO(ti) задается элементом
h = g{n^)...g{l)
подгруппы SO(n—1) и точкой г] на сфере S'1-1 со сферическими координатами 0"~Ojjz}. Из формулы (1) вытекает, что
dg=dh dx\. (3)
§ 2. Представления класса 1 группы SO (п) и гармонические многочлены
1. Квазирегулярное представление. Изучение представлений группы SO (п) начнем с рассмотрения ее квазирегулярного представления. Группа SO (п) является транзитивной группой преобразований «-мерной единичной сферы S'1"1. Обозначим через S2(Sn_1) пространство функций /(|) на сфере S!l 1, для которых сходится интеграл
Н/1Р= 5 1/(1) 1^1 СО