Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
= (|1-Х-1) ^(jc).
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем отсюда, что U^, (л;) удовлетворяет дифференциальному уравнению
S+(~t+^+4 ~)-v=0-
412
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
Это уравнение называют дифференциальным уравнением Уиттекера.
Это же дифференциальное уравнение следует из равенств (5) и (7) п. 2.
Точно так же из формул (2) и (4) п. 2 следует, что и Ж*, является решением уравнения (1). К тому же выводу можно прийти, пользуясь формулами (6) и (8).
Комбинируя иным образом полученные в п. 2 рекуррентные соотношения, получаем соотношения, связывающие Ж*,„.(.к) и ^х.цС*) с функциями Mx±i, Д-к), Мх, ц±1(-*0, W'x + i, Д-к), U^x, ^±1 (-О- Например, из соотношений (1) и (5) п. 2 следует, что
Раскрывая скобки и вычитая из получившегося соотношения равенство
(см. формулу (1)), получаем
(2ц—I)2
2
^„-.(4 (2)
Совершенно так же из (1) и (7) п. 2 получаем
* +(х - т) л*) = - wm. „ (*), (3)
из (3) и (5) находим
xdWhJtw
dx
WWW, (4)
из (3) и (7) имеем
(5)
§31 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ УИТТЕКЕРА 413
Аналогичные соотношения для МХ11(л;) имеют следующий вид:
(2,1-1) + [ (2^= 1)‘— х]жх, ,(x)=2ix (2,1-1) Afx.м (х), (6)
Х k(Lx ^ ^ ----2~) I1 ^ = “Ь ^ “Ь "2") ^х+*' I1 ^
х - (х - |) Жх,, (х) = - X +1) Жх_л,, (х), (8)
(2,1 + 1) W _ _ Х] Мк , (х) =
(м- + у) -Х2 = 201+ 1Х2Ц+1Т М'К 11,1 ^
• 4. Соотношения симметрии для функций Уиттекера. Мы доказали в предыдущем пункте, что функции Уиттекера (х) и Wx ^ (х)
являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка:
Й+(_ 4" + 7+^“)-У = °- (1)
Это уравнение не меняется при замене jj. на — ц., а также при одно-
временной замене л; на —л; и X на —X.
Отсюда следует, что наряду с функциями ^ (-хг) и ^х.цС*)
функции
^х, —[л (*)> М_Хш у.(—х), М_Xi (— х),
^х.-Д*), ^х.Л-^). ^_х, ,(-*)
также являются решениями уравнения Уиттекера. Поэтому все эти функции должны линейно выражаться через два линейно независимых решения уравнения (1). Выберем в качестве таких решений ЖХ (1(лг) и Л1Х, _ (лс) (их линейная независимость без труда доказывается путем вычисления определителя Вронского).
Выражение для М_х>(1(—лг) через Л1ХtlL(x) сразу получается из интегрального представления (1) п. 1 § 1. Заменив в этой формуле X на — X, z на — х и сделав подстановку и = 1 — v, получаем
М-х.Д— х) =
_ г (2(1. + 1)(— xf- + 1/2е~*/2
т{р — х+т)Г(м' + Х+т) 0
Сравнивая эту формулу с формулой (1) п. 1 § 1, находим
(_ -1/2 м_х ^ (_ х) = X-V. - ./2 мх> „ (X). (2)
Аналогично Ж_х>_ц(—л:) выражается через Жх (л:).
I
[цР — х — !/2(1 — М)|1 + Х —1/2 еги
414 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
Теперь найдем соотношение, связывающее ^(jc) и MXill(.v), (х)- Будем искать его в виде
Wrx.|lW = ^x.|lW + ^x,.|lW.
Заменяя в этом равенстве функции Уиттекера их интегральными представлениями (1) и (2) из п. 1 § 1, получаем после простых преобразований соотношение
ОО
^ е~гаиР~~х~1/2( 1 -|- l/2du =
о
I
= А-----f — X —1/2^1 — + X — 1/2 ezudu
г((А + х+т) °'
I
X ^ гг——x —1/2 (1 — гг)-11 + х- '/2 eza du, (3)
о
Входящие в это соотношение интегралы сходятся при 2 = 0 в области Re(IA-X + l)>0, Re(IA + X + |)>0, Re^<0,
Re ^— [а — X -)- yj 0, Re ^— ц -)- X -)- у j 0.
Положим в равенстве (3) 2 = 0 и воспользуемся интегралами (7) п. 6 и (2) п. 7 § 1 главы V. Так как при Re jj. 0 выражение 2~S|1 обращается в нуль в точке 2 = 0, мы получим после простых преобразований
_ Г (-ад
Чтобы найти значение В, сделаем в интеграле в левой части равенства (3) подстановку zu = v и умножим обе части равенства на 22|\ Мы получим соотношение
00
^ е~ип?- — */2(2 -)- гг)|1+Х— !/2du =
о
I
= А-----Г ~Ь 1Г M(i —X —1/2^] —гг^-|-Х — 1/2 ezu du _J_
Г((А + х + т] 0 Г(1-2ц)г(ц —A+-I-) 1
-j-B—--------------p- -------------p- \ гг ^ !/2 (1 —M)-|J.+X-l/2era flu
r(— M- — * + у)Г(— ^ + х + у) 0
§4] ИНТЕГРАЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ УИТТЕКЕРА 415
При 2 = 0 интегралы, входящие в это равенство, сходятся в области Re tx > 0, Re(n-X+1)>0, Re(,x + X + |)>0,
Re ^ |х X -)- у j 0, Re ^ |х -|- X -|- yj 0.
Полагая z = 0, получаем после простых преобразований
вг- Г(ад
