Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь tx и U — треугольные матрицы с единицами на главной диаго-/1 0 /1 0\ (е1 0 \
нали: ?, = 1 I, ?a = l L 8 = 1 — диагональная матрица и
/ ° V ' г °\ I' °\г °\
s = [— 1 oj-B самом деле’если g= 1 т i- J ’ 10 g= \-1 1 ) \о --- )
(а р\
и, следовательно, g имеет вид (4). Пусть теперь ^ = , где
\Т 8/
Р ф 0. Рассмотрим матрицу
а — Р
'gti ‘ а^ — f* (8 — р4) 8 — рг1,/ •
Поскольку р ф 0, то можно положить t^~ а/p и ?, = 8/р. При таком выборе имеем
0 Р\ /Р 0\ / о Л
'rW = Ui- о)=\о i)Ui o)=8s-
Поэтому g=tibsti.
Из доказанного утверждения вытекает, что достаточно найти операторы, соответствующие диагональным матрицам 8 и матрице s. Мы имеем
И
00 00 2/
\ /(е-‘1‘х)еах dx = cil $ /0)еге ^ dy = е* F
— 00 — 00
Поэтому диагональной матрице 8 соответствует оператор вида
§ 7] ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ 395
2. Вычисление ядра оператора Qt(s). Нам осталось найти операторы, соответствующие матрице s. Но
Т (s)f(x) = | л: |ai sign2' xf (
Поэтому
ОО
Qx(s)F(\)= | л: j2'sign25*/( — ~^e?k*dx =
— СЮ
OO
= \ \у г*л' sign2?(—y)f(y) eixwdy.
— OO
В силу формулы обращения для преобразования Фурье получаем
1 ? 00 Qx(5)F(X) = + \ \у resign** (-у) е~1Х/У ^ F^e-^dpdy.
-00
Если —l<^Re/<^0, то в этом равенстве можно изменить порядок интегрирования и получить
00 00
Qx(s)F(X)=l J F(p) J \y\-^s\gn^(-~y)e i^xy-xUydV.. (1)
— 00 — 00
Итак, мы доказали, что оператор Qx (s) является интегральным оператором с ядром
00
KS(K wx) = i 5 |j/|-«-*sign»4-j/)<?-|(,l^jrl,dy. (2)
— OQ
Это ядро легко выражается через функцию Ганкеля. Ответ зависит при этом от знаков X и |л.
Пусть Х^>0 и [а^>0. Положим = R, j/'j- = ea и у = е‘ при у 0, у = — е‘ при у<^0. Тогда
к*а, V, х)=
00 00 _J_ ^ c2lRcb(i + a)-t(2l + l) dt | (—1)2е ^ e-YiRzb(i + a)-i(2l+\)dt_
— 00 — 00 = ^li'tll‘l[e(ii+i)l..'/i/y(i)+i (2R) — (— 1)зегГ(3/+1>*‘7^>+1(2/?)] =
= 4(f)/+V2 [<?(9,+l),,i/J/$)+i(2 Kty)— (— 1)*,<Г(»'+1),,'/,/$и (2K?)1-
(3)
Аналогично, при X<^0, ц<^0 получаем
клк 14 х)=4(тУ+1/г[-е_(3/+1Ы/2я2?+1(2 ^) +
+ (— l)3V(3/+1)’t'/9 H®+1 (2 У Xp.)|. (4)
Й96 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Если X 0, [л 0, то
КАК к z) = 4(-f)' + ,,'X
х к- . а /^?) - /4?+1 (-1(5)
если же Х<^0, р. 0, то
К, (к ц; х) =
=т( ¦“ т) 11/1[ - 1)liE/y^+1 (~1 +я^)+1 (г' (0)
Итак, ядро оператора Qx(s), х = (У> ®) вычислено при — 1<^/<^0. В частности, формулы (3) — (6) справедливы для представлений основной серии, поскольку для них 1= — */а —|— /р.
Можно показать, что для представлений дискретной серии оператор Qyr 00 выражается через функции Бесселя с целым индексом Jn (je). Пользуясь полученными выше формулами, можно находить различные свойства функций Ганкеля, аналогично тому, как это было сделано в главе V.
ГЛАВА VIII
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА
В этой главе будут изучены свойства функций Уиттекера Дг) и ц.С2’)- Будет показано, что эти функции связаны с представлениями группы треугольных матриц третьего порядка точно так же, как гипергеометрическая функция связана с представлениями группы вещественных унимодулярных матриц второго порядка. Именно, будет построена реализация неприводимых представлений этой группы, при которой диагональным матрицам соответствуют операторы умножения на функцию. При этой реализации другим элементам группы соответствуют интегральные операторы, ядра которых выражаются через функции Уиттекера. Пользуясь этим, мы получим рекуррентные соотношения, дифференциальные уравнения, континуальные аналоги теоремы сложения и другие соотношения для функций Уиттекера. Кроме того, будут рассмотрены тесно связанные с функциями Уиттекера многочлены Лагерра.
§ 1. Функции Уиттекера и вырожденная гипергеометрическая функция
1. Определение. Определим функции Уиттекера М \itl(z), ^(2) следующими интегральными представлениями:
Мх, р (z) =
р+4 ~ т j , I 1
Г (2u + 1) z 2е 2 С к-— >¦ —S--1 чН- + х-т
= —--------------------------пг\“ 0~ “) 2ezadu, (1)
