Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ТЫ — X -)—Г ffj.-j-X -)—2^J о
,(Z) = -* 3* -J-- J g-”u"X >V+»f+X *du. (2)
398 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
/
Первый из этих интегралов сходится при Re ^ |j.— X —j—О,
Re ^(д. —|— X —|—0, а второй — при Re^— X —|—0, Re2^>0.
Интегралы, входящие в равенства (1) и (2), являются в области сходимости аналитическими функциями от г. Легко доказать, что функции М\ Дг) и Дг) можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость, разрезанную вдоль отрицательной полуоси (разрез делается для выделения однозначной вегви множителя 211+1/а). Заметим еще, что М* „ (z), рассматриваемая как функция от пара-
1.3
метров, аналитична всюду, кроме точек |j, =----—1, —у, ... ,
в которых множитель Г (2[i —|— 1) имеет простые полюсы. Функция же ^х, (i(z) определена при всех значениях X и ja.
Исходя из интегрального представления (1), получим разложение функции Mx ^(z) в ряд. Для этого разложим еги в степенной ряд и почленно проинтегрируем получившееся разложение. Используя интеграл (2) из п. 7 § 1 главы V, получим
. 1 Z СО / 1
. VI Г (р — ^+*+ТГ
.. , ч Г(2и.+ \)z *е z * Vr " 1 " ' 2 / fe /Q4
M\tV_(z) / ЫГС9„ _l ь _l n z- _( )
V 2 / fe = o
2. Вырожденная гипергеометрическая функция. Введем вырожденный гипергео метрический ряд
1 -LЛ _g_-Lg(а +1) gji П)
^ 7 U' 7(7 + 0 2!^ ••• ^
Этот ряд получается из обычного гипергеометрического ряда
1 L Ё. — -L g(g+ 0Р(Р+ 0 I 7 1! 7(7 + 1) 2!
заменой z на zjk, р на /е и предельным переходом k —-со (нетрудно обосновать законность почленного предельного перехода). Ясно, что ряд (1) сходится при всех значениях z. Обозначим его сумму через
Ф (a; Ti z) и назовем ее вырожденной гипергеометрической функцией.
Из равенств (3) п. 1 и (1) вытекает, что
, _1__Z .
MKv.(z) = z *е 2^+1; z). (2)
Если в дифференциальном уравнении
S + tT-O+P+b-i*
которому удовлетворяет гипергеометрическая функция F(а, Р; -у; z) (см. п. 3 § 5 главы VII), сделаем замену z на zjk, р на k и выполним
§ 2] ГРУППА ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 399
предельный переход k—-оо, то получим уравнение
I Г \dU П /л\
**? + ( Т--г)^--ан = 0, (3)
называемое вырожденным гипергеометрическим уравнением. Естественно ожидать, что одним из его решений является вырожденная гипергеометрическая функция Ф(а; -у; z), которая получается из F (а> Р; Т> г) тем же предельным переходом:
Ф(а; у; z)= lim F (а, k; у; -А. (4)
k —> ОО ' Л '
В этом легко убедиться непосредственной проверкой.
Из уравнения (3) легко вывести уравнение
d2v I I 1,1,4
+ т+тН — (5)
которому удовлетворяет функция Мх^(г) (см. § 3).
§ 2. Группа треугольных матриц третьего порядка и ее представления
1. Алгебра Ли. Изучим представления группы О треугольных матриц третьего порядка, имеющих вид
j\ а Ъ'\^
g=\ 0 с d).
Vo 0 1/
Здесь а, b, с, d — вещественные числа, с^>0.
Вычислим алгебру Ли этой группы. Так как элементы группы зависят от четырех параметров, нам надо выбрать четыре однопараметрические подгруппы в О. В качестве этих подгрупп удобно выбрать следующие:
/1 t 0\
(1) (2) (3)
(4)
Z1 t °\
?+(*)= f° 1 о)
1
\о 0 1 /
Л 0 °\
g- (0 = 0 1 ()
\0 0 У
!1 0
z{t) = ! о 1 °)
\о 0 У
Л 0 °\
e(t) = ° е' 0
\0 0 1 j
1° 1 °\ f° 0
= ° 0 0 : а = 0 0
. )
\0 0 0 j \о 0
/0 0 1\ г 0
\
=; о 0 0 Ь = \ 0 1
i У
\о 0 0/ \0 0
400 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
Касательные матрицы к этим подгруппам имеют вид
И,
0/
0^ о
Оу
Непосредственный подсчет показывает, что
\а,, а \ = с, [а+, b\ = aJr, [а., Ь] = — а_,
[а., г:] = |а , с} = \Ь, с] = 0. (5)
Отметим, что однопараметрическая подгруппа z(t) является центром группы Q, т. е. ее элементы перестановочны со всеми элементами группы О:
