Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
sn~i
(d% — нормированная евклидова мера на S" 1). Каждому элементу g группы SO(n) соответствует оператор L(g) в пространстве ^(S""1), переводящий функцию /(|) в функцию
ш/(ю=/сг]ю- • (2)
Очевидно, что L (gigz) = L (g{) L (g^) и потому L(g) является представлением группы SO(n).
Так как евклидова мера d% на S'1"1 инвариантна относительно вращений, то имеет место равенство
№/||2= $ ^ |/(1)|^1 = ||/||г. (3)
s'г~* s'1-1
Таким образом, представление L(g) унитарно относительно скалярного произведения
(Л,Л)= 5 ЛФ/ТЩЛ- (4)
^л-1
Это унитарное представление группы SO(n) будем называть квазире-гулярным представлением.
436
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IX
2. Представления в пространствах однородных многочленов.
Квазирегулярное представление группы SO(n) приводимо. Ниже будут построены неприводимые представления этой группы, па которые разлагается представление L (g). Обозначим через пространство однородных многочленов степени I от п переменных. Каждый многочлен /(х) из пространства однозначно определяется своими значениями на сфере Sn и.
f(rl) = rlf(l). (1)
Поэтому можно рассматривать как подпространство в 22(6,л'1). Очевидно, что при преобразовании
L(g)f(x)=f(g~'x) (2).
однородные многочлены переходят в однородные же многочлены, а потому подпространство инвариантно в (Sn-1). Представление
L (g) задает, таким образом, представление Lnl (g) в инвариантном подпространстве
Lnl fe)/(x)=/Gf‘X), f(x) ? m>a. (3)
Однако и представления Lnl (g) являются приводимыми. В самом деле, при вращениях g из SO(n) расстояние 1Л = х\-\-.. х~п точки х из Еп от начала координат остается неизменным. Поэтому подпространство многочленов вида г2/(х), где /(х) ? 1~2,
инвариантно относительно операторов Lnl (g).
Обозначим через Tnl (g) представление, заданное представлением Lnl (g) в фактор-пространстве yinl = ffinljггШп'1^2. Мы докажем ниже, что это представление является неприводимым унитарным представлением группы SO(n) и что квазирегулярное представление этой группы является прямой суммой представлений Tnt (g):
‘ СО
Ш = Ц T'lL(g). (4)
i —о
Таким образом, представления Tnl(g) могут быть охарактеризованы как неприводимые компоненты квазирегулярного представления группы SO (ti).
Мы докажем далее, что эти представления допускают другую характеристику. Именно, представлениями Tnt (g) исчерпываются неприводимые представления T(g) группы SO (п), в пространствах которых есть вектор f0, инвариантный относительно всех операторов Т(Н), h?SO(n— 1):
Т (h) fо = f0, h SO(n—1), (5)
т. е. представления класса 1 относительно подгруппы SO (п—1). Итак, ниже будет доказано, что представления Tnl (g) являются
§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА I ГРУППЫ SO (я) 437
неприводимыми представлениями класса 1 группы SO(ri), причем каждое неприводимое представление класса 1 этой группы эквивалентно одному из представлений Tnl (g).
3. Гармонические многочлены. Чтобы доказать утверждения, сформулированные в конце предыдущего пункта, построим другую реализацию представления Тп (g), а именно, реализацию в пространстве однородных многочленов степени I от п переменных. Многочлен /(х) называется гармоническим, если Д/=0, где
. д2 , , д2 ...
А — Щ + + (1)
— оператор Лапласа. Нам понадобятся в дальнейшем некоторые соотношения, связанные с оператором Лапласа.
Покажем сначала, что если fx (х) ? 3R"’2, то
Дте = (2п + 4/-8)/1 + г2Д/1. (2)
В самом деле, непосредственное вычисление показывает, что
П
Д (rVi) =:2/f/i + ¦4 2 г'2 А-Л ¦
*=1
Но так как fx (х) — однородный многочлен степени I — 2, то по формуле Эйлера имеем
l^wk=v^‘2)U
*= 1
откуда и вытекает равенство (2).
Повторно применяя формулу (2), легко показать, что если 4(Х)?Е то
Д (г2*/,) = 2k (п + 21 - 2k - 2) r2ft-2/ft + г2* ДД. (4)
Из равенства (2) вытекает следующее утверждение:
Если h (х) — однородный гармонический многочлен степени I, то
х/W- я + и_2
является однородным гармоническим многочленом степени / —(— 1. В самом деле, Д/г=0, поэтому
