Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы получить разложение (g) в явном виде, заметим, что многочлены и (-*2 — i)1 принадлежат пространству ?>гг.
При этом простой подсчет показывает, что если g—вращение на
УГОЛ ср В ПЛОСКОСТИ (ATj, лг2), то
Т11 (g) (х, + ixtf = eil? (.х, + iXl? (1)
и
Til fe) (л-, - ixtf = e-il* (.x2 - Ixj. (1')
Таким образом, пространство ffi1 является прямой суммой двух инвариантных подпространств, одно из которых натянуто на функцию (лг2 -I- iX))1, а второе — на функцию (лг2 — ixtf. Соответствующие
21 21
представления группы SO{2) будем обозначать 7+G?) И ri{g).
Проведем теперь доказательство неприводимости представлений Tnl (g) при 3. Доказательство проведем с помощью индукции по п. Случай п=Ъ был рассмотрен в главе III. Там были построены неприводимые представления T^g), 0sg /<^оо, группы б’О(З). Нетрудно показать, что эти представления лишь формой записи отличаются от представлений Т31 (g) и, следовательно, представления Т31 (g) группы 50(3) неприводимы.
Пусть уже доказано, что представления Tn~1-k(fi) группы SO(n—1), 4 неприводимы. Докажем, что тогда неприводимы и
представления Tnl (g) группы SO(ri). В самом деле, рассмотрим сужение представления Tnl(g) на подгруппу SO(n—1). Мы доказали в п. 7, что это сужение распадается в прямую сумму представлений Тп~1’к(К), O^k^.1, h(?SO(n—1), которые, по предположению
448 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
индукции, неприводимы. Но представления Tn~l-k(h) и Tn~l-m(h) при k^tn неэквивалентны (хотя бы потому, что размерности А (я— 1, k) и А (я— 1, т) пространств этих представлений различны). Так как эти представления неприводимы, то любое инвариантное подпространство X в Шп1 jг%Шп-1 ~2 должно быть прямой суммой подпространств в которых реализуются представления Тп~ '• *(А). (Напомним, что Шп1к является образом подпространства х1 к&>п " '¦ * при отображении на ШпЧг‘1Шп'1~2).
Итак,
3; = №+ ... + 21л/\ (2)
Поэтому, если $ непусто, то оно содержит хотя бы одно из подпространств Wlm.
Нам осталось показать, что если инвариантное подпространство % содержит У\п1т, то оно содержит и все 31л/*, 0 sg Заметим,
что инвариантное подпространство $ должно быть инвариантным относительно инфинитезимальных операторов Ajk. Согласно п. 9 оператор Ajk переводит смежный класс по г‘2?Яп’1~2, содержащий функцию /(х), в смежный класс, содержащий функцию
A/hf(x) = xk^j-xJ^. (3)
Но пространство состоит из смежных классов, содержащих
функции вида xln~mhm(x'), где А (х') ? ~ т, т. е. является
гармоническим многочленом степени tn от я — 1 переменного. Оператор Ajn переводит функцию xln~mhm(x') в
Ajn Кг mflm (Х')] = 1 Щ — V— «) Хп~ т ~ 'xfhm (Х')- (4)
Докажем, что выражение в правой части этого равенства можно представить в виде линейной комбинации функций из подпространств
х1п~т + х$п-х’ Х1п~т _1.?>л_ ¦’ т + 1 И /'99И
В самом деле, как было показано в п. 3, многочлен dhm/dXj-является гармоническим и потому dhm/dxj- ~ '• т — '. Далее, в п. 3
было показано, что
Ат+1 (х) = xjhm (х') - ~пТ2~ (5)
является гармоническим многочленом. Поскольку степень этого многочлена равна т.-)— 1, то hm+1 (х') ? &>п — '• т + '. Но r?_i = = г4 — Хп, и потому
xjhm ОО — К+1 О ) — п-\-2т — 3 + п + 2т — 3 Г* Щ' ^
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА 1 ГРУППЫ SO (л)
449
В силу формул (4) — (6) имеем
разложение (7) и является искомым изображением A/n[xln~mhm(x')] в виде линейной комбинации функций из подпространств
Если hm (х') ф 0, то при т ф 0, т ф I хотя бы для одного j, первые два слагаемых в разложении (7) отличны от нуля. Для первого слагаемого это вытекает из того, что при т ф О функция hm (х') не является постоянной, и потому хотя бы одна ее частная производная отлична от нуля. Для второго же слагаемого — из того, что хjhm(x') не делится на г? (см. стр. 439), и потому hm+i (х') ф 0, множитель же I—tn при тф1 отличен от нуля. В случае т = О имеем Ът+1 ф 0, а при т = 1 имеем дкт/дх;-фО. Итак, мы доказали, что существует j, 1 sg я, для которого
причем компоненты в подпространствах xln~ т + — i, т — i и
хп~ т ~ — *’ т * отличны от нуля (кроме указанных выше случаев
т — 0, tn = /). Отсюда вытекает, что образ многочлена А]Ь [xl~mhm(x')\ при отображении dinl на 1 ~~2 лежит в сумме подпространств
gjn/, т — I и 5{л/, m+i jaK как этот образ принадлежит инвариантному подпространству %, то в силу разложения (2) подпространство % должно содержать как 31л/- т ~так и %nl- т + 1 (при т = 0 лишь gjn/, m + i; а при т = 1 лишь ЭДл/-т-1). Отсюда вытекает, что X содержит все подпространства Шп1к и, следовательно, совпадает с Шп1/г*Шп' 1 ~2. Неприводимость представления Tnl (g) доказана.
