Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, мы доказали, что Т11 (g) — неприводимые представления группы SO(ri), 3. Покажем, что Tnl(g) — представления класса 1, т. е. что в пространствах этих представлений есть векторы, инвариантные относительно всех операторов Tnl (h), h^SO(n—1). Для этого удобнее воспользоваться реализацией представления Т*1 (g) в фактор-пространстве 9Кл,/га81я>1 ~2. Возьмем смежный класс
AjniXn-mhm 0O]?-*'-'n + I?'1-
+ <-
/1—1, тп — 1 | 4 _ тп — 1 L\n —
450 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
х1п-\-г*Шп'1 ~2. Если h?-SO(n—1), то при вращении А не меняется координата хп, и потому
Г"1 (A) [xln + r*3t». 1 -2] = х\ + г'Я"- 1 -2- (9)
Нетрудно показать, что любой элемент в 1 ~2, инвари-
антный относительно операторов Та (h), h(^SO(n—1), пропорционален х1п-\-г^Шп' 1~2.
Отметим, наконец, что представление Tnl (g) при реализации в пространстве Jq"1 унитарно относительно скалярного произведения
(А„ /п)= f М1)М1)^- (10)
sn-l
В самом деле, из инвариантности евклидовой меры d\ на сфере S'1"1 вытекает, что
(Tnl(g)K rl(S)h,)= \ dl =
sn-l
= 5 Mi) Mi) <*&=(*!,A*)- (n>
Sn-1
11. Полнота системы представлений Tnl(g). Мы построили систему представлений 7nl (g), 0=^/<^оо, группы SO (я). Покажем теперь, что эта система полна в множестве представлений класса 1 (относительно подгруппы SO (п—1)). Иными словами, покажем, что любое представление T(g) класса 1 относительно подгруппы SO (tt— 1) эквивалентно одному из представлений Tnl (g).
Пусть в! — нормированный инвариантный вектор в пространстве 31 представления T(g). Каждому вектору f из §( поставим в соответствие функцию на группе SO(ri), определяемую формулой
f(g) = (rl(g ')f, е,) (1)
((f, е) — инвариантное скалярное произведение в пространстве 91)* Из результатов п. 6 § 2 главы I следует, что функция f(g) постоянна на левых смежных классах по подгруппе SO(n—1). Поэтому f(g) можно рассматривать как функцию на однородном многообразии SO(ri)/SO(n—1), т. е. на сфере Sn i. Именно, если то
полагаем
? (I) =/ (g)-
При переходе от векторов f к соответствующим функциям f(g) представление Т(g) задается операторами сдвига
QC^?(l) = ?ferlS)- (2)
В силу непрерывности представления T(g) функции ср (|) непрерывны и, следовательно, имеют интегрируемый квадрат. Но тогда
§3]
ЗОНАЛЬНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
451
представление Q(g) является неприводимой компонентой квазирегулярного представления L (g). Поскольку представление L (g) разлагается в прямую сумму попарно неэквивалентных неприводимых представлений ff11 (g), то в силу п. 3 § 3 главы I представление Т(g) эквивалентно одному из представлений И"1 (g), или, что то же, одному из представлений Tnt (g).
Тем самым доказано, что каждое неприводимое унитарное представление класса 1 T(g) группы SO(ri) эквивалентно одному из представлений Tnt (g). Более того, построена реализация представления Т(g) операторами сдвига в пространстве гармонических
многочленов степени I от п переменных.
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Пусть T(g)—неприводимое унитарное представление класса
1 группы SO(ri) и ej — нормированный, вектор из пространства 91 этого представления, инвариантный относительно всех операторов T(h), h?-SO(n—1). Каждому вектору ! из 91 поставим в соответствие функцию ср(|) на сфере Sn~l\
является гармоническим многочленом степени I от переменных xlt ... , хп. Любой гармонический многочлен степени I от Х\, ... , хп может быть представлен в виде (4).
Отметим еще, что из доказанного выше утверждения вытекает массивность подгруппы SO(n—1) в SO(n). В самом деле, любое неприводимое унитарное представление класса 1 эквивалентно одному из представлений V11 (g), а в пространстве 91лг = ЭТл//г2;йл’г~2 этого представления есть лишь один нормированный вектор, инвариантный относительно всех операторов Tnl (h), h? SO(n—1).
§ 3. Зональные сферические функции представлений Tnt (g) и многочлены Гегенбауэра
1. Описание зональных сферических функций. Как указывалось в п. 6 § 2 главы I, зональной сферической функцией представления Т(g) (относительно подгруппы Н) называют функцию
(3)
г&е S%n = %' Тогда функция
(4)
f(g) = (T(g)eu ei)>
где ех —вектор в пространстве представления T(g), инвариантный относительно всех операторов Т {К), h ? Н.
452 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Применим это определение к подгруппе SO(n—1) группы SO(ri) и представлению Tnl (g). Мы получим функцию