Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
I j_
2
2 , ps
, е* =
сф а1
и обозначим через gi матрицу gi = d\1gdi1, где
. <..-(7 Я- *=(о* J!
Положим g1 = ^1 jjj'j. В силу выбора ср и ф выполняются равенства |ai| = |81| и |р1| = |71|. Далее, обозначим через р матрицу р = s— е)~чglt р = ^, где
а) е1 = е2 = 0, если \^\^\^х\, <х,>0,
б) = 1, е2 = 0, если | | | ^ |, ^<0,
в) ej = 0, е2 = 1, если | <4 |< I Pi 1> 7, > 0,
r)e1 = es=l, если |aj К|р, |, 7,<°-
Тогда имеют место неравенства | | = 1821^> | (321 = | ^ |, Сле-
довательно, матрица р имеет либо вид (2), либо вид (3). Но тогда
g= d&di = d1 (— eyi s^pdi.
Из доказанной теоремы вытекает, что каждая матрица g из группы SL (2, R) задается числами ср, 0, ф и числами е1( е2, принимающими значения 0 и 1. Кроме того, должно быть указано, какой вид имеет
ГРУППА SL (2, R)
353
матрица рг. (2) или (3). Мы получаем, таким образом, восемь областей в группе SL (2, R), характеризующихся значениями е1; е2 и типом матрицы р. В каждой из этих областей матрица g однозначно определяется значениями ср, 0, ф. При этом, если g имеет вид (2), то 0 изменяется от — оо до оо, а если g имеет тип (3), то 0 изменяется
К К
01 — 4 Д° 4 •
Построенная параметризация группы SL(2, Я) тесно связана с параметризацией группы SL (2, С) при помощи углов Эйлера, однако несколько отличается от нее (из-за наличия множителей вида s2). Параметризация при помощи углов Эйлера неудобна тем, что в некоторых случаях при этой параметризации приходится разлагать вещественные матрицы в произведение матриц с комплексными элементами.
Рассмотрим теперь в группе SL (2, R) матрицы, для которых один из матричных элементов равен нулю. Как и в теореме 1, убеждаемся, что любая матрица такого вида может быть записана в виде
g= d (— е)61 s^ps**, (6)
. fe-f 0\
где d=\ n f), e,, e.2 и e3 принимают значения 0 и 1, —е —
— 1 0 \ /0 1\ /10 о — 1/’ s = (—l О/ и р~матРица вида р = \х 1
Например, если g=(® g), 7^>0> т0
g=dps,
где
d = (e0 #)’ = Я = (-у 1
3. Алгебра Ли. Выберем в алгебре Ли группы SL (2, R) базис, состоящий из касательных матриц к однопараметрическим подгруппам
ш+ (0 = (о 1)> (!)
Ш-Ю = (? l)>
^{t) = (en ЛУ (1")
Эти касательные матрицы имеют соответственно вид 0 1\ /0 0\ /—10
0 0/’ - \1 О/1’ 3 —I 0 1
(2)
354 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Они удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[а+, а_] = —а3, (3)
К» а3] = 2а+) (30
[а_,а,] = -2а_. (З'О
Вместо матриц а+ и а можно взять их линейные комбинации
0 1
1 О
(4)
и
<ц — — а+ -\- а. — 0 У (40
V о /
Они являются касательными матрицами к подгруппам
а-“‘Ю=(,с!** S3
Q,:<os(Q = (cos* - sin J) (50
*v ’ \sm t cos tj v
соответственно.
Коммутационные соотношения для матриц аь а2, а3 имеют следующий вид:
К. аа] = — 2а3, (6)
[а*, аз] — — 2а1( (60
[а3, а1] = 2а9. (6')
§ 3. Неприводимые представления группы SL(2, R)
1. Описание. Поскольку группа SL (2, R) изоморфна группе QU(2), то ее цеприводимые представления непосредственно получаются из описанных в п. 2 § 2 главы VI неприводимых представлений группы QU(2). Напомним, что эти представления строятся в пространстве Х>г Х = (^> е) функций Ф(г), имеющих степень однородности 2/ и четность 2е, и задаются формулой
Тг(к)Ф(г) = Ф{аг^\гЪг), (1)
где й = (у|«Г — | *|*=1-
i’a
Поэтому, если §¦ = ! —матрица из группы SL (2, R), то соот-
\т °/
ветсхвующий ей оператор представления задается формулой (1), где
§31 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SL (2, 7?) 355
