Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
СО
/(ср. X, ф)= 2 ФтлМ^'(ВД). (2)
тп, п = — СО
где суммирование распространено на все пары (m, ti), такие, что т и п — одновременно целые или полуцелые числа. Коэффициенты Фтп(т) выражаются формулой
2тг 2тс
СО = J J /(?, S ф) (w) d? db. (3)
— 2тс О
При этом выполняется аналог формулы Планшереля
2тс 2тс со со со
^ \ ^ |/(сР> т> ф) 1® Sh х rfx tsfcp t/ф = 2 \ I фтп СО Г sh т dx. (4)
—2к 0 0 т, п = — со О
336
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ'ГРУППЫ QU (2)
(ГЛ. VI
В п. 2 § 3 было показано, что матричные элементы представлений Т (g), содержащие множитель е—i(m<p4-/»^), имеют вид е~1 (т*+niW X X ф^п(сЬт). Поэтому задача о разложении функций на группе QU(2) по матричным элементам представлений Tx(g) сводится к следующей: Даны числа т и п, одновременно целые или полу целые, и функция F (х), такая, что
00
§ | F (х) |а dx -|~ °°-
1
Разложить функцию F (х) по функциям ф1тп(х), где I—параметр, по которому ведется разложение, и 1 х оо.
Эта задача сводится к задаче о разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора. В самом деле, функции ф^п (х) удовлетворяют самосопряженному дифференциальному уравнению
d , о du т2 4-п2— 2mrix ,
dk (X - Тх-------------------
где X = /(/-}-l) (ср. уравнение (9') п. 5 § 4). При этом они непрерывны в точке х= I (соответствующей т = 0). Иными словами, функции ф^„(->0 являются собственными функциями самосопряженного оператора
d , » , ч d т2— 2тпхп2 , , ^ ,еч
Тх^-^Тх--------------(5)
непрерывными в точке х=\.
Применяя обычную технику разложения по собственным функциям самосопряженных операторов (см., например, [32], [38], [51]), получаем следующий результат.
Если m и п—целые числа, то любая функция F (х), такая,
СО
что ^ | F(jc) |3 dx -|- оо, имеет разложение
1
СО 1
F (х) = 4^ ^ а (Р) + ,Р (х) Р th dР +
?)
м
i = i
где
{ min {\т\, [ п |) при тп .i~ О,
М = л
I О при тп<^ 0.
§ 51 РАЗЛОЖЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 337
Суммирование ведется по целочисленным значениям I. Коэффициенты а (р) и b (/) в этом разложении выражаются следующими формулами:
_ 1
а (р) = \F (X) ,р (х) dx~ \ F (х) + (x)dx (7)
1 1
и1)
СО
= !)m'i F(x)^~'(x)dx =
1
СО
=(- (8)
Имеет место следующий аналог равенства Планшереля:
СО СО
^ jj 1 а(р)I2 Р thТгрfifp-j-
-I1 О
м
\)П-т у , Г(/+Я +1)Г(/ —п + 1)- | ь |2 ,дч
' 4*2 Zi\ 2 ) та + т + 1)Г(/--,л + 1) I '> I •
Аналогично, если т и п — полуцелые числа, то
00 1
F (х) = ^2 § а (Р) Фтл2 + 'Р С*) Р cth ^Р dР +
О
м
+ У, сю)
где
min (\т\, | л |) при тп 0,
м = ^ п ^ п
0 при тп<^ 0.
Суммирование ведется по полуцелым значениям I. Коэффициенты а(р) и Ь(1) выражаются теми же формулами, что и в случае целых т и п. Формула Планшереля имеет в рассматриваемом
*) Два Г-множителя обращаются в бесконечность и должны быть преобразованы по формуле Г(л:)Г(1—а:) = ~•
338
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУ.ППЫ QU (2)
1ГЛ. VI
случае следующий вид:
со оо
оо
оо
1
м
(-1)"»-» V (, 1 \ Г(/+я + 1)
4я2 Zj г 2jr(/ + m + l)
Г(/+я + 1)Г(/-я+1) 2]T(l + m + \)T(l — т+\)
(П)
2
Отметим, что
Поэтому интегральные члены в формулах (6) и (9) — (11) можно записать единообразно, заменив th up и cth up на th тс (р —[— si), где е = 0
в целом случае и е = -^- в полуцелом случае.
Применим полученные результаты к коэффициентам Фтп (т) разложения (2). Мы получим следующее утверждение:
Любая функция/(g) на группе QU(2), такая, что J |/{g)^dg<^-\-co, разлагается по матричным элементам
