Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
у = е)> т'=т-{— е, п' = п-|-е
неприводимых представлений этой группы. Разложение имеет вид
где е, т, щ I имеют тот же смысл, что и выше.
Значения коэффициентов аЕтп (р) и Ь‘тп(Г) выражаются формулами
тп, п,в О
со
(13)
и
,Е п_(-1Г-'Т(/ + ш + Е + 1)Г(г-и-е + 1) тп { ‘ Г(/+п+е+ 1)Г(/ — п — е + 1)
[ fig) t(nin (S) dg .
(14)
где, напомним, в параметрах Эйлера
dg= sh т dx d<? dty.
РАЗЛОЖЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
339
Наконец, имеет место аналог формулы Планшереля
СО
^ I/(«)Р^=ЙГ I йтп (Р) I* Р th 71 (Р + ?0 dP +
т, п, е О
М
I , _ 1)m-n у ?(/ + n+J + 1)Ш — п —Е +Л (7 __1) | /л ia]
^ и Zj Г(/ + т + с+1)Г(/ —m —е + 1) р
/ — 1 — е
(15)
Выведенные формулы упрощаются, если вместо матричных элементов ft1-(g) ввести матричные элементы соответствующих унитарных представлений дискретной серии, которые будем обозначать ft1's- (g). Именно, мы получим
1
f(g)=4^2 2 [§ a‘mn (p)4n2+,p,E'fe)pth7r(p+?/)^p+
ТП, п, в О
М
+ 2 (is)
? = 1-Е
где знак -(- выбирается, если т и л^>0, и знак —, если т и /к(0.
При этом выражение для (р) остается прежним, а коэффициенты
Ьт^{1) имеют вид
b^ = \m^Hg)dg. (17)
Формула же (15) принимает вид
СО
§l/te)la^=4^ 2
т, п, е О
(р) I2 р th тг (р -j- й) dp -(-
м
+ 2 ^-т) 1^(01*]. (18)
/=1
Мы видим, таким образом, что в разложение функций f(g) на группе QU{2), имеющих интегрируемый квадрат, входят лишь матричные элементы неприводимых унитарных представлений этой группы. При этом входят лишь представления первой и второй основных серий, а также представления дискретных серий. Представления же дополнительной серии в разложении не участвуют. Этим группа QU{2) отличается от всех ранее рассмотренных групп, для которых в разложение функций с интегрируемым квадратом входили матричные элементы всех неприводимых унитарных представлений.
340
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2)
1ГЛ. VI
Пример. В формуле (7) п. 4 § 4 положим / —------------Zp. Мы
получим
ф* , . (ch , . (ch т2) =
-t+'p
ti+13
-т+*Р
4J , <chx>7*fc^i^
— 2' + *Р \ sh Tj sh т2
У [ch (tj -)- т2) — ch xj [ch г — ch (tj — x2)]
sli т dx, (19)
где Tk(x) — многочлен Чебышева. Применяя формулы (6) и (7), выводим
\ ф 1 (ch т) ф* | (ch tj) $Р * (ch т2) р th ттр dp =
4" 7*
^- + ip
ch т — ch xt ch t2^ sh Tj sh t2 i
___I У [ch (tj -|- To) — ch tJ [ch т — ch — t2)]
при | Tl — T2 | < T < Tj 4- T2,
О в противном случае.
(20)
4. Разложение регулярного представления группы QU(2) на неприводимые. Полученное разложение функций /(g) из пространства J3 имеет простой теоретико-групповой смысл — оно связано с разложением регулярного представления группы QU{2) на неприводимые. Именно, каждому у=(!, е) и каждому т поставим в соответствие пространство функций .?)?* на группе QU{2), имеющих вид
F(g) = (Tx(g)% е~!тв),
где f
f [?(*") |*d0<+oo.
о
Пространство таких функций инвариантно относительно правых сдвигов, причем сужение регулярного представления R(g) на эквивалентно представлению Тг (g). Нетрудно показать, что функции /гт (g) из можно записать в виде
§51 РАЗЛОЖЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 341
Пользуясь этим, выводим из разложения (12) и формулы Планшереля (15) п. 3, что
СО СО
$ ~ 4т? [ 2 2 J- + ер th 71 + ?г") dp +
„ 1 m = — оо О 2 ^
\т\ , , . т
+ 2 0)
/ I - е " ' ~ 1
Rte)=i? 2 2 [$ 7!”i+;p efe')pth^(p+?0^p+
I m |
+ 2 hl)^,±(4 <2)
