Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
6. Соотношения ортогональности для функций Из ре-
зультатов п. 3 легко получаются соотношения ортогональности для функций В целочисленном случае получаем
если /, 1Ь tn, п — одновременно целые или полуцелые числа, причем 1ф1\. Далее, если 1—где
со
(1)
(т\п (\tn\, |я|) при тп^О, | 0 при тп<^ О,
то
СО
Точно так же устанавливается, что
^ фт«2 О) 'I'mn"2 (х) dx = ^ р th IT (р -|- si) 8 (т — р). (3)
f
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИЯ
В этой главе будут рассмотрены представления группы вещественных унимодулярных матриц второго порядка, при которых диагональным матрицам соответствует оператор умножения на функцию.
соответствуют интегральные операторы, ядра которых выражаются через гипергеометрическую функцию. На основе этой связи будет получен ряд свойств гипергеометрической функции.
1. Определение. Определим гипергеометрическую функцию F (а, Р; z) при помощи интегрального представления. Разрежем комплексную плоскость вдоль луча 1 ^ 2 оо вещественной оси. При любом t, O^^sgl, функция (1—tz)~a однозначно определена в разрезанной плоскости. Выберем ветвь этой функции, принимающую значение 1 в точке г = 0. Далее, выберем ветви функций ft"1 и (1—ty ^1, принимающие значение 1 соответственно при t= 1 и t = 0. Тогда функция ^_1(1——tzya однозначно определена в разрезанной плоскости.
Положим
F(a, Р; Т; г)=-(1 _ (1 - fa)'“ Л. (1)
При сделанных выше предположениях этот интеграл сходится в области Re у Re р 0 и определяет функцию F(a, Р; -]¦; г)> аналитически зависящую от а, р, у. Мы назовем ее гипергеометрической функцией.
cos t — sin t' sin t cos t
§ 1. Гипергеометрическая функция
о
346 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ II Л. VII
Для значений р, у, не принадлежащих указанной области, определим гипергеометрическую функцию с помощью аналитического продолжения.
Для значений 2, не лежащих на луче 1 ^ 2 оо, выражение
1—tz не обращается в нуль при 1. Поэтому функция
F(a, Р; г), задаваемая интегралом (1), аналитически зависит от z в комплексной плоскости, разрезанной вдоль луча 1^2<^оо. Будем полагать, что в этой плоскости имеем |arg(l—
При |г|<^1 гипергеометрическая функция разлагается в степенной ряд. В самом деле, при |.г|<^1 и имеем по формуле
бинома
Г (a) ft!
/г = 0
Подставим это разложение в интеграл (1) и почленно проинтегрируем. Так как по формуле (2) п. 7 § 1 главы V
ТО
F(a В- Г Г(-г) У Г(° + *)Г№ + *) (2)
P. V z) Г(а)Г(Р) Zt Г (7 +ft) ft! • ( '
k — о
Разложение (2) определяет F(a, Р; f, г) при | г | < 1 для всех значений а, Р, 7, за исключением случая, когда 7 = 0, — 1, —2, ... , — п, ... Если 7 = — п и ни а, ни р не равны —т, где men и т = 0, 1, 2, ... , то функция F(a, Р; 71 г) имеет полюс первого порядка. Найдем вычет F (а, Р; 7, z) при 7=—п. Для этого заметим, что
I f 0 при ft si яЛ
Г(7 + Й) ~W=7o при к>п\
Поэтому из формулы (2) вытекает, что
lim F<b Г. *) - < V 11 (д + ft) Г (Р + ft) „
7“_л Г (7) — Г («*) Г (Р) L Г (ft — п) ft!
k = п -f-1
Г(а + л+1)Г(Р + л+1) _я + 1
F{* + n+\, Р + я+ 1; n + 2; z).
Г(о.)Г(Р)(л+1)!
Так как
(— Пп Выч r(7) = L^;
, f = — л ш
ТО
Выч F(a, Р; 7; z) =
^~р1)»Г(«« + л+1)Г(Р + л+1) _„ + f ^ , _ , , „ о.
----------п\ (л+Т)! Г (а) Г (Р)-------z^‘F(a + n+ I, V + n+l, п + 2, z).
• (3)
§ I] ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 347
Отметим еще, что F(a, р; у; 1)= ^
— Г От) С /1 dt (7)^(7 Р а) /ич
— Г(Э)Г(Т—р) ^ *> аг— г (7—«) г (-у—р) • ^
2. Некоторые соотношения. Отметим некоторые соотношения для гипергеометрической функции, непосредственно вытекающие из ее определения.
Из разложения (2) п. 1 следует, что параметры аир симметрично входят в гипергеометрическую функцию:
F(*’ Р; Т; z) = F (р, а; у; z). (1)
