Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Укажем еще формулу
^mt'(chx) = ^ [Фт- I. п (ch х) -(- фт + 1, „ (ch х)]-(-ch x^.4n(chx), (11)
которая получается путем умножения обеих частей равенства (2) на соответствующие части равенства
z chy -(-shyj^z sh—[— chyj =г 1 sh х -(- z ch т.
Формулу (11) можно также получить, применяя соотношения (7) и (8). Аналогично,
фтл ‘(ch X) = — n + l(ch-.)-f-SPmt „+1(ch x)J -(- ch (ch x).
(12)
Наконец, рассмотрим два разложения
, х . , z\l 1 + л1 ( , х I , Z\h— «1
z chy-f-shyj ^shy-l-chyj =
OO
= 2 Ф«1»1 (ch "O zh + mi
mi — — co
И
и x 1 и Т\*2+Я2 f X , - т\*а
г chy+shyj \z shy-j- ch-^
Wj=! — CO
РАЗЛОЖЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
331
Перемножим эти разложения почленно и применим к левой части разложение (2). Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, находим
7. Континуальная производящая функция. Применим к формуле (15) п. 3 § 3 формулу обращения для преобразования Меллина. Мы получим
Это равенство показывает, что функцию F(w, t) можно рассматривать как производящую функцию для (0 при фиксированных тип. Однако в правой части равенства вместо суммы появляется интеграл по I. Поэтому будем называть функцию F (w, t) континуальной производящей функцией для ф^ (t) при фиксированных тип.
Особенно простой вид принимает формула (1) при т = п = 0:
где — 1 а 0.
§ б. Разложение регулярного представления группы QU(2)
В этом параграфе будет изучено разложение пространства Jp функций f(g), QU(2), имеющих интегрируемый квадрат, на минимальные подпространства, инвариантные относительно левых (или правых) сдвигов.
СО
т — mb na(ch х). (13)
mi — — со
F (w, ch т) ::
у w2 -|— 2о) ch т -|— 1
О)
где
— w — ch т -)- У и)2 -|- 2w ch т -)- 1
(2)
sh т
и
— 1 а т — п.
а+ /со
(3)
а — ico
332
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ' ГРУППЫ QU (2)
[ГЛ. VI
1. Регулярное представление группы QU(2). Рекуррентные формулы для функций %lmn (ch т) были выведены из теоремы сложения для этих функций. Как и в случае группы SU(2), другой путь вывода этих формул связан с рассмотрением инфинитезимальных операторов регулярного представления группы QU(2).
Согласно общему определению (см. п. 4 § 2 главы I) левое регулярное представление группы QU(2) строится в пространстве Jp функций /(g) на этой группе, таких, что
$1 /(g)P<te< + °°-
Операторы левого регулярного представления задаются формулой
l(go)f(g)=f(g^g)- (1)
Аналогично операторы правого регулярного представления задаются формулой
R(go)f(g)=f(ggo)- (2)
Инфинитезимальные операторы регулярного представления L(g) для группы QU(2) ищутся точно так же, как и для группы SU{2) (см. п. 6 § 4 главы III). Поэтому, не проводя детальных выкладок, приведем окончательный результат.
Подгруппе Qj матриц
fch~ sh у
4,
соответствует инфинитезимальный оператор Av левого регулярного представления, имеющий в параметрах Эйлера следующий вид:
д sin 9 д ,„ч
^ = cthTS,n<p^-coscp^-^^, (3)
Подгруппе матриц
' ch ~ i sh ~
м*)=[ * \
-Is h у ch у
соответствует инфинитезимальный оператор
л it. д . ?? . COS ??
Л» = — cth т cos ф3----------------sin ф -j- Н—г-1 зт•
2 т dtp т ох 1 sh х д<\>
(4)
§ 51 РАЗЛОЖЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 333
Наконец, подгруппе 23 диагональных матриц
(е* О
шз (0 = I и
\0
соответствует инфинитезимальный оператор
Л, = -ц- (5)
Аналогично, инфинитезимальные операторы правого регулярного представления, соответствующие тем же подгруппам, имеют в параметрах Эйлера следующий вид:
х sin Ф д | , д 1, . , д ...
fil=-ihx^+C0S^-CthTSm^> (6)
