Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ФГ (ch Т) = Г (/ + И + 1) г (/ + 1) ch2' ^ X
00
\ Ч thas-m
X > ____________________________2______________________ (8)
—J r(s — m+ 1)Г(/+/п — s+ 1) Г (s + 1) Г (/ — s+ 1)’
s = шах (0, т)
Если I — целое неотрицательное число и |/я|^:/, то из формул (13) п. 9 § 4 главы III и формулы (7) получаем
%?{z) = P?{z). (9)
6. Соотношения симметрии для функций фт„(сЬт). Как и
многочлены Якоби Plmn(cos 9), функции Якоби *pm„(chi:) удовлетворяют некоторым соотношениям симметрии относительно индексов I, т, п. Покажем сначала, что эти функции не меняются при изменении знаков индексов tn и п, т. е. что
$ял (ch т) = m> _„(chx). (1)
Рассмотрим оператор 5, переводящий /(е‘е) в е2*80/(е~‘е). Непосредственный подсчет показывает, что оператор 5 перестановочен с операторами Tx(gz), где
[*i shT
VshT chT/
ST,(gx)=TL(gx)S. (2)
В этом можно убедиться также из следующих теоретико-групповых соображений. Представления Тг (g) можно распространить на группу квазиуни-тарных матриц, определитель которых равен +1, не изменяя формул, за-
/0 1\
дающих представления. При этом S=Tx(s), где S=:L Но
318 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QC/v.2) (ГЛ. VI
и потому
Ту (S) Ту (gx) = Ту (gz) Тг (S),
STX (gT) = Ту (gT) s.
Матричные элементы smn оператора 5 в базисе {е"'т6} равны нулю, если щ-\-пф—2е, и равны единице, если т-\-п= — 2е. Перемножая матрицы в равенстве (2) и сравнивая соответствующие элементы слева и справа, находим
2s — т, л (§*) Цп, — 2s — л iS-d"
Так как Umn (gT) = фгт,л, (ch т), где ni — m-1— е, Н = п-)— е, то Is* , (ch т) = 4V (ch z).
+ — m — е, /i-j-е'- ' ^ m -f- e, — n — e ^ /
Ввиду произвольности m, n, e, l, получаем
?L(ch «=Ф_т>_л(сМ
для всех комплексных значений I и всех целых или полуцелых значений т и л.
Из соотношения симметрии (1) и формулы (5) п. 5 вытекает следующее соотношение симметрии для присоединенных функций Лежандра
- (СИ х) =¦ * ”+-Я- чу (ch х), (П
где т — целое число.
Чтобы получить следующее соотношение симметрии, заметим, что выражение (2) п. 3 при замене т на — л, а л на — т умножается Г.(/+т+ 1) Г (/ — т+ 1) _
™ -т\/ + я+1)Г(/-я + ТГ- °ТСЮДа вытекает> что
sol — г(/+W+1)г(/ —w+1) QW , h 4 f3)
) Г(/+ Я+ 1)Г(/ — П+ 1) > <• >
или, в силу соотношения (1), что
№ (chQ = Г(/+Д»+1)Г(/ — w+1) ^
+ лш^“ > Г(/ + я+ 1) Г (/ — я+ 1) )¦ У >
Перейдем теперь к соотношениям, связывающим функции Якоби с различными значениями I. Мы доказали в п. 5 § 2, что если / не целочисленно, то представления Tx(g), е) и T_x(g), —=
= (—I—1, е) эквивалентны. Именно, они связаны соотношением
QT7L(g)=T_7L(g)Q, _ (4)
где Q — оператор, матрица которого в базисе {е~1п6} диагональна, причем на главной диагонали стоят элементы
Г (/ П — е —1) ^
§ 3] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Tx(g) 319
Применяя соотношение (4) к элементу
^chT shT\
\shT chiJ
группы Q[/(2) и принимая во внимание, что получим равенство
JT (/ — М--Е +1) s, г Г(— / — т — в) +ш + е, п +
Г(/ п е + 1) т-1 -1 (ch т) (6)
г (-_ I-п---е) Л + >¦ '
Заменяя т~j-e на т и п~j-e на п, и используя соотношение
Г(х)Г(1—х) = . п . , перепишем равенство (6) в виде sin ПЛ
1 - 1 Cch х) — ( п”1-" г(/ — т + 1)Г(/ + т + 1) отг /chx-v /уч
Vrnn lCnxJ — I Ч Г(/ —И+1)Г(/ + П+1) '*5»п»^ПТ>
В силу равенства (3’) отсюда следует, что
^ - 1 (ch т) = (- 1)т - л %\‘ат (ch х). (70
Положив в формуле (7) п = 0 и применив соотношение (5) п. 5,
получим
(ch х) = ^ nll_l (ch х). (8)
В частности,
spi(chx) = $_i_1(chx). (9)
Следующее соотношение для функций '^„(chx) вытекает из унитарной сопряженности представлений T%(g) и T_-(g), —у =
= (—7—1, е) (см. п. 8, § 2):
{Тг{ё)е-1п\ е = T__-{g~') e~imb) =
— у, - yf ^ im 9 in