Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
------—— V w‘ n (ch у + z sh -
2 1 у ws -f- 2wchz -f- 1 ’
где
________— w — ch x \ w2 -f- 2w ch x -f- 1
sh x
При n = О получаем
00
'Й»(сМ = ^ t
0
В частности,
wlzmdw
У w3 4- 2w ch x -f- 1
(15)
(16)
(17)
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 7^ (g)
315
4. Зональные сферические функции представлений Tx(g) и функции Лежандра. Пусть е = 0, т. е. х = (Д 0). Тогда в пространстве D есть функция, инвариантная относительно всех операторов Тг(К), где h—диагональная матрица из группы QU(2):
0 .V
\о e-rj
Именно, такой функцией является базисный элемент 1. Матричный элемент t%0 (g), соответствующий такому элементу базиса, мы назвали ранее (глава I, п. 5, § 2) зональной сферической функцией представления Ty (g) относительно подгруппы 2 диагональных матриц.
Итак, при е = 0 представление T^(g) имеет зональную сферическую функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению (см. п. 5 § 2 главы I)
tl(hight) = tl(g), (1) где hu h%^Q. Отсюда непосредственно вытекает, что /*„ (g) зависит только от угла Эйлера т матрицы g. Впрочем, эго ясно и из формулы (9) п. 2. Полагая в этой формуле е = /я = /г—0, получаем
й&) = %(сМ- (2)
Назовем функцию ^оо (ch т) функцией Лежандра с индексом I и обозначим ее фг(сЬт). Таким образом,
sp,(chi) = ^0(0, т, 0) = $J0(chi), (3)
где х = (^> 0)- Полагая в формуле (6) п. 2 и формулах (1) и (2) п. 3 tn = n = 0, находим следующие выражения для функций Лежандра:
2 тс
Ъ (ch -)=iHChT + shY еП)‘ (ch T + shT е ''idd =
° 2 тс
= --L ^ (ch т -|- sh х cos б)г (4)
о
*МсМ=2^ J (chy + ^sh|)'(zch^ + sh|)V'-4z =
, /" ch(/+4-^df • / Г ch (^ + 4-) t dt
ЫсМ = ± 1 —2-> .......................-)¦_, (6)
* 1 - r T / * \ yc\\t+ chi
00
% (Ch,) = Щ+±>(, + ch ,y 2 r,(; + i)r1,(7-s+r> (jKTl)‘ • m
5*0
316 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2) [ГЛ. VI
Из формулы (4) видно, что если I — целое число, то функция Лежандра (z) совпадает с многочленом Лежандра Pt (г):
$1 (*) = />! (*). (8)
Функции Лежандра ф i (chx), соответствующие основной
- у 4- !р
серии неприводимых унитарных представлений группы QU(2), называют функциями конуса.
5. Присоединенные функции Лежандра. Рассмотрим теперь присоединенные сферические функции представления Tx(g), ^ = (/, 0), г. е. матричные элементы t„o(.g), находящиеся в одном столбце с зональной сферической функцией t*0 (g). По формуле (5) п. 2 эти
элементы имеют вид
tmo (g) = е~ ""’’spmo (ch х). (1)
Из формулы (1) видно, что они не зависят от угла Эйлера ф, т. е. постоянны на левых классах смежности по подгруппе 2 диагональных матриц
tU(gh) = t*0(g), h?Q. (2)
Определим присоединенные функции Лежандра ф” (z) (/ — комплексное число, т — целое число) формулой
2я
¦$" (г) = Г21п/++1)-S ^ cos дУ eim*dB- (3)
о
Эга формула однозначно определяет ф” (z) в комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрезка [— 1,1]. Поскольку отображение г = сЬт переводит полосу 0<^1шт<^тс в плоскость, разрезанную вдоль отрезка [—1, 1], функция фгт(сЬт) однозначно определена в этой полосе. По формуле (6) п. 2 имеем
2 тс
фто (ch т) = -L- ^ (с/г х sh х cos в)le'm(ldO. (4)
о
Сравнивая формулы (3) и (4), получаем
$Г(ch т) = (Ch т), (5)
и потому прг. g=g(ср, т, <|>) имеем
do (g)=rvlV+i) е~lm* W <ch ^
Из ’ формул (1) и (2) п. 3 вытекают следующие выражения для
§ 3] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Т i (g) 317
присоединенных функций Лежандра:
(ch т) =
= ^I"TWir$ (сЬТ + гзЬтУ (^ch| + sh^zm l 4z =
Г
_ 1 Г(/ + «+1)
m2nl Г(/+ 1)
г
Т
