Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
где <р, т, ф — параметры матрицы gxg2. Согласно п. 2 § 1 эти параметры выражаются через параметры х1; <р2, по формулам
ch х = ch т! ch x<j -j- sh xj sh х2 cos (p2, (4)
sh Tj ch t2 -(- ch Tj sh t2 cos<p2 -j- i sh t2 sin<p2 sh т
(<p 2 Up2
' (<e + Ф) ch-~ch-~-e2 + sh sh ~ e 2 e 2 =-------------------------------
chT
(40
(4")
где
0 sg: <p 2ir,
0 ss; x oo, J (5)
— 2ir 2ir.
§ 41 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ^lmn (ch т) 323
Подставляя значения #ftfei)> *?„(&) и **л(g&) в равенство (2) и заменяя tn, k', п' на т, k, п, получаем
СО
е- i (ту + Лф) (ch т) = Yx е~ik *а tylmk (ch -tj) (ch x2), (6)
k — — СО
где параметры х1; (р.,, х.2, <р, х, 0 связаны соотношениями (4) — (4"). При этом, если т и п — целые, k пробегает целые значения, а если
т и п — полуцелые, k пробегает полуцелые значения. Это и есть
теорема сложения для функций (ch т).
Как и для функций Pl (cos в), устанавливаются следующие частные случаи формулы (6):
Если ср2=0, то т = Tj —т2, ср = ф= 0 и потому
СО
5Ртл(сЬ(Т1 + Тз))= Е ^mft(chxl)^L(chT3)- (?)
k = — СО
При ср2 = т., Tj т2 имеем т = Tj — х2, ср = 0, ф = тг и потому
ОО
Ф'^ОлСч—'*))= S (~^4^(ch^L(ch<>- (8)
k = — со
В частности, при т1 = т2 имеем
ОО
I] (- 1Г-А^(сЬх)^^л(сЬх)=^л(1)=8тл. (9)
k — — СО
Ислользуя формулу (7') п. 6 § 3, можно переписать равенство (8) в виде
со
k = — ОО
Если 1=---------^—[— гр, то —I—1=7, и, по формуле (10) п. 6 § 3 по-
лучаем
__1___, . со 1 , , 1 ,
Фтл2 +'P(ch(x1^x2))= ^ С/ P(chT0CA2 '(Chx,). (11)
k = — ОО
В частности, при х1 = х2 = х имеем
ОО L 4- ¦ L _1_ •
2' ф»*2 (СМФ„*2 P(chx) = 8ffl„. (12)
k = — СО
Это равенство выражает унитарность представлений основной серии.
324 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2) [ГЛ. VI
Отметим частный случай теоремы сложения при сра = у. В этом случае мы получаем
оо ik тс
е-Мт, + Лф)^л(с±т)= 2 ^“^(chTO^JchT,), (13)
k = — оо
где
ch т = ch Tj ch т2, (14)
j<t______ sh ch t3 + i sh t2 ,, ^
sh т ’ ’
. Xi —T~ I| . < 11 I a
‘(f + Ф) у 2 ch -Ly—“ + г ch —^
Chy
(14")
2. Целочисленный случай. Теорема сложения для функций ^mn(chx) принимает несколько более простой вид, если у^ = {1, е), т. е. 21 имеет ту же четность, что и 2е. Тогда, как было показано в п. 7 § 4, фт„(г) = 0 в следующих случаях:
а) I — e;g;0 ил^ — I — е, т<^ — I — е или /г ==с / — е, т^>1 — е;
б) I — е^О и п^1 — в, т<^ — I — еилия^ — I — е, т^>1 — е.
Поэтому, если I—е^О, то при т, п— I—s суммирование
в формуле (6) п. 1 ведется от —I—е до оо, при т ^—I — е, I—е гс; п гс; I -]- е от I—е до оо, при I — esgl/w, ns^l-\-e от I—е до / —j— е, при tn^l— е, I — е ^ п I -j- е—от —оо до —I—е и при т, п^1—е — от —оо до I — е.
Если же I — е^О, то при т, п^-1—е суммирование в формуле (6) п. 1 ведется от I — е до оо; при — I — е — г,
п^1—е — от —I—е до оо; при —I—е^т, Ж/—е — от
— I — е до I — е; при —-1 — — е, п ¦<- — I — е от оо до
I — е и при т, п =sS—I—е — от —оо до —I — е.
3. Теоремы сложения для функций Лежандра. Мы определили функции Лежандра и присоединенные функции Лежандра формулами
$,(chT) = $0(diT) .-(1)
И
ФГ(СМ= ф”<с|”>= ^"(сМ <2)
§ 4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ $ (ch т) 325
(см. п. 4 и 5 § 3). Положим в формуле (6) п. 1 т=п= 0 и воспользуемся выражениями (1) и (2). Мы получаем
СО
?i(chx)= 2 e ~ik'bti (ch x,) ^ (ch x,), (3)
