Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
s = 0,^-
причем
со со
n 1 m = — oo 0 2
г = 0, -s-
/ = 1 — ?
Здесь суммирование распространено на целые значения т, причем, через 7'(m)I (g) обозначены представления, эквивалентные Т (g)
5^=^— ^—[— ip, ej. Аналогично Т[™\ + {g)— это представления, эквивалентные представлениям T±{g), ^ = (/, е) дискретной серии.
Разложение (2) можно записать иначе, изменив порядок суммирования и интегрирования. Положим
ОО
Х-'.-Ир..(*)= Ц ip .&>’ (8)
m =• — со 2
X/,E,+ = E^mUfe) (4)
тп
х/...-=Е7'П,-^- (5)
тп
Тогда имеет место равенство
со
R(g)= 4^ 2 [S X-^+ip e^)pth7r(p + ?f')^p +
.-о4 й 2
со
+ 2 + ,-&)]]• (6)
/ = 1 — е
Оно дает разложение R(g) на представления, кратные неприводимым.
342 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2) ]ГЛ. VI
5. Разложение индуцированных представлений группы QU(2).
Обозначим через фт пространство функций /(g) на группе QU(2),. таких, что $ [/(g) !»???<-|-оо и /(hg) = e~iml/(g), где h =
/До \
— ! !. Это пространство инвариантно относительно операто-
'vO е~~* 1 ров правого сдвига, и формула
Rm(go)f(g) = f(ggv)
определяет представление группы Q?/(2) (сужение правого регулярного представления на &>т). Согласно п. 6 § 2 главы I его называют представлением, индуцированным представлением e~imt подгруппы 2 диагональных матриц.
Из определения пространства $т ясно, что оно состоит из функций вида
/(ср, -с, Ц>) = /=• (х, i|>)e-"n'i’i
где
2тс со
\ \ 1 F (х’ Ф) Р sh t dt dty -|- oo.
о о
Поэтому разложение пространства Jr> в прямую сумму подпространств &>т сводится к разложению функцйй /(ср, -с, ф) в ряд Фурье по ср:
/(ср, X, ф) = 2/7т(1:- $)е-'ш,е, т
где т пробегает целые и полуцелые значения, а
2тс
/(ср, -с, ф)е1т^ср.
Применяя разложение (6) п. 4, легко получаем разложение индуцированных представлений на неприводимые. Именно, если т целое число, то
СО
Rm(g) = 4^r[^ T_± + ip 0fe)PthlcPrfP +
I m I
+ 2 (^-D^bc^+T'cofe)]!. о) *=i
§ 51 РАЗЛОЖЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 343
Если же т — полуцелое число, то
СО
= Т 1 I ig) Р cth up dp -f
LS -T + 'f’T
I m I
+ 2 (2) j *2 '2
1 ^ T
Таким образом, в разложение индуцированных представлений каждое неприводимое представление входит не более одного раза.
В частности, рассмотрим представление Rt>{g). Будем называть это представление квазирегулярным. Из разложения (1) видно, что
СО
= Т , te)pth*pdp. (3)
4л g -т + »-р.0
Таким образом, квазирегулярное представление группы Q?/(2) является непрерывной прямой суммой неприводимых унитарных представлений первой основной серии.
Используя описанный в п. 1 § 1 локальный изоморфизм групп QU{2) и SH{3), легко получить из разложения (3) разложение представления
L(g)№=fQT4)> It ?] = -ь
группы SH(3). Мы не будем останавливаться на этом, поскольку в главе X соответствующее исследование будет проведено для всех групп SH(n).
Рассмотрим еще связь между разложениями индуцированных представлений при разных значениях т. Из формулы (12) п. 3 вытекает, что разложение функций f(g) из имеет вид
со /__1__fp е ^
тп 2 Р te)Pthlc(p + ?/)rfp +
п, е О
М
+ 2 (4) / = I — е
Но легко видеть, что левый инфинитезимальный оператор Н+ переводит функции из ?>т в функции из + а Н_ переводит функции из фт в функции из (см. п. 1). Поэтому, применяя к обеим
частям равенства (4) оператор Н+, получим разложение функции H+fig)> принадлежащей + Однако, вообще говоря, таким путем
344
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2)
[ГЛ. VI
получаются не все функции из <§m + i, поскольку оператор Н+ не является взаимно однозначным. Мы оставляем в стороне детальное рассмотрение этого вопроса.
