Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
При |г|^>1 справедливость равенства (1) следует из аналитичности F(a, р; у; z) по 2.
Далее, дифференцируя почленно разложение (2) п. 1 и заменяя k на k-\-\, получаем
со
dF(a,frr,z)__ Г(7) V Г(а + *+1)Г(Р + *+1)
dz Г(«.)Г(Э) L (t + k + \)k\
k = О
Отсюда следует равенство
Р+1; т+1; ^ (2)
Чтобы получить следующее соотношение, сделаем в интеграле (1) п. 1 подстановку 2=1—5. Мы получим
I
F(a, р; Т; z) = г^)~г((7Д -р -1 О - -1 (1 - z + «Г* ds =
О
=гда^=»(1-гГ- ('-ггтГ^
В силу равенства (1) п. 1 интеграл в правой части этого равенства выражается через гипергеометрическую функцию. Отсюда вытекает, что
F(z, Р; т; г) = (1—г)-*р(л, у — р; у; ~Г[)- (3)
Используя симметричность F (а, р; -у; z) относительно аир, получаем F (а, р; у; z) = ( 1 - z)^F (Т - а, р; Т; . (4)
Из соотношений (3) и (4) вытекает
F(a, р; т; z) = (l — z)i ~а F (у — а, у — р; у; z). (5)
348 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
3. Некоторые интегралы, выражающиеся через гипергеометри-ческую функцию. Через гипергеометрическую функцию выражаются некоторые часто встречающиеся интегралы. Сделаем в равенстве (1) п. 1 подстановку t= 1/s. Мы получим
ОО
F (а’ тг. *) = гдат=гр) J s“ 1 (s- 1 (5 - “ds- W
Заменяя в этом интеграле 5 на ^ —|— 1 и 1—z на и, находим
СО
FО*, Р; т; 1™м)=г7р)1^г1Тру § я7_|’-1(1+*)|,~7(* + иГ,<&- (2)
О
К интегралам вида (1) п. 1, (1) и (2) сводятся многие другие интегралы. Например, подстановка приводит интеграл
ь
./= 5 (s - af 1 (Ь — Sy р 1 (z — s) “ ds
а
к виду (1) п. 1. Мы получаем
J= V - аГ1 [г - а) “ F (а, Р; Т; . (3)
Заменим в равенстве (2) р на 7 — X. Тогда
Ф (X) = F (а, 7 _ X; Т; 1 - и)
явится преобразованием Меллина для /(s) = (l -f-s)”'1 (s-(- и)~а. В силу формулы обращения для преобразования Меллина получаем
отсюда
a-[ ico
2~Г[ { Г (X) Г (у - - X) F(a,j- - X; Т; 1 - и) s х dl =
а— ico
= Г(т)(1+5Г1(5 + «) (4)
где 0 а Re 7.
Точно так же из формулы (1) п. 1, определяющей F (а, р; -у; z), вытекает, что
а 4- ico
а—гсо
где а>>0, 5^>0.
р -(- X; z) s xd\
_ (1 — s)P-J(l-
sz)
Г(Р)
(5)
§ II ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 349
4. Выражение функций и многочленов Якоби через гипергеометрическую функцию. Покажем, что введенные в главах III и VI функции Plmn (г) И ф'да, (г) выражаются через гипергеометрическую функцию. Для этого воспользуемся разложениями этих функций в ряды.
Пусть т^п. Заменив в формуле (1) п. 4 § 4 главы III индекс суммирования J на m-\-s, получим
, j— —-гг—тт-- Т7Х —(- ТХ ИХ — ТХ
Рио+о - х
1—ТП
V V (—])¦» (f-|-m-|-5)l_/1 — rn
sl (гп — n-{-s)\(l—m — s)'.\ 2 j ' ’
5 = 0
Сравнивая эту формулу с формулой (2) п. 1, убеждаемся, что
Р1 м — !т~п л Г(1-п)[(1 + т)1
тпК,~2т(т — п)\\ (1^ т)\(1-\-п)\ 4
ттх -\-тх m-тх 1
X (1 -Ьг)“(1 —2)~2~F(l+m+ 1, /и — /; m -п-\- 1; ). (2)
Аналогичная формула имеет место при п^=г m
pi (z)- in~m лП1-т)\(1 + п)\
Гтп\*)— 2Л (п — т)\ у (/ — л)!(/ + от)[ Л
т+л л —т
Х(1+2)”2_(1 —2) 2 F(l-\-n-\- 1, л—/; л —/и+1;(2')
2
Точно так же из формулы (2) п. 4 § 4 главы III следует, что при т^п
pi Л Г{1 + т)\{1-п)\
t'mnK.Z)— 2i у (/_m)l(/-|_„)l А
m —л
X (1 — -г) 2 (1+2) 2 F\m — I, — л — /; т — л + 1; (3)
В частности, полагая л = 0, получаем
р’«=<^|т=гй|(1-^)т'г(/+'» + 1.* + >;-Цр) =
=ЧГ!4±#(+)Ч-'.'+>-+¦;+)• <«
Полагая же т = п = 0, находим Pl(z) = F(l+l,-l; 1; -Ц=-г) = №)' F (- /, - /; 1; . (5)
350
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VI!
Далее, из формулы (2) п. 3 § 3 главы VI следует, что при tn ¦
п — т
фтл(-г)— 2/г(/ + т+ 1Нл — т)\ ^2 ]) 2 (*+1) 2 X
X FI — / — tn, п — 1; п — tn -J- 1; 2
Z ¦
