Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Ь совф д . , д ,, , д .
2 = "sht~cfy Sin ^ ch т cos ^ дф ’ (7)
S- = i- W
Как указывалось выше, вместо инфинигезимальных операторов Alt А$,
Ла удобнее использовать их линейные комбинации Н+, Н_, Н3
(см. стр. 299), которые в параметрах ср, т, ф имеют следующее
выражение:
Н+ = -А, - [i dh х ? -I- ? - ^ *
= - Л> + ^ [ - icth4, + Й + sl?T ЩJ > (1
Ha = iA3 = -i±. (11)
Аналогично для операторов Blt Вц, B3 имеем
к, = - fi, - IB, = [~ ^ A _ ? + , dh 4J, (12)
^ = = (13)
K, = lBa = l± (14)
На группе QU(2) существует аналог оператора Лапласа — дифференциальный оператор второго порядка Д, перестановочный с левыми
и правыми сдвигами. Он выражается через инфинитезимальные опера-
торы формулой
Д =— А\ — Л|-)-^4з= — В\ — -(- By (15^
(9)
334 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2) [ГЛ. VI
Будем называть Д оператором Лапласа на группе QU(2). В параметрах Эйлера он выражается следующей формулой:
а 1 ^ , d 1 Г д2 д* , да ] ,,«4
sh т ch т дт Ih^L<V“ <3^ “f- 5ф2 J ’ ^ )
2. Рекуррентные соотношения и инфинитезимальные операторы.
Рекуррентные соотношения для функций ^^„(chx) выводятся с помощью инфинитезимальных операторов точно так же, как и для функ-ций P'mn(cos 0) (см. гл. III, § 4, п. 7). Каждой функции /(е,ь) из пространства 3) поставим в соответствие функцию
2к
F (g) — (Tx(g)f, = J'y (g)f (ei0) eiml> dh (1)
о
на группе QU{2). Из формулы (1) непосредственно вытекает, что функции Ty,(gft)f(elb) соответствует функция F(ggo), т- е. операторы представления Тх (g) реализуются операторами правого сдвига на группе QU(2).
Обозначим пространство функций вида (1) через Ясно, что
матричные элементы
tXmn{g) = {Tx{g)e m, е~м), ~оо<л<оо
образуют базис в пространстве ^хт> соответствующий базису { e~ini} в пространстве ф. Поэтому для этих матричных элементов справедливы соотношения (11), (12) п. 3 § 2, в которых е~1пА надо заменить
на {тп 3 Н? И на К+’ К--
i<An (s) = («'-0^iB + 1(g). (2)
*-*Lte)=-(«'+0?.B-iOr)- (3)
Подставим в формулы (2) и (3) вместо матричных элементов р- (g) их выражение (9) из п. 2 § 3 через параметры Эйлера и заменим д-
К_ их выражениями (12) и (13) из п. 1. После несложных преобразований получим рекуррентные формулы (3) и (4) из п. 5 § 4. Аналогичные рекуррентные соотношения получаются путем реализации операторов Tx(g) в виде операторов левого сдвига на группе QU(2).
Перейдем к выводу дифференциального уравнения для функций (ch т). Покажем, что применение оператора Лапласа
ь = -А\-А\ + А1
к матричному элементу t^n(g) сводится к умножению на /(/-|-13-Уже отмечалось, что матричные элементы (g),—оо п оо образуют .канонический базис в пространстве т. Поэтому Д(g)
§ 51 РАЗЛОЖЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 335
является образом функции (—А\—А\ -(- е~‘л0 при отображении (1)
(Аи А<ь, А3 — инфинитезимальные операторы представления Т (g)).
Используя формулы (3), (5) и (7) из п. 3 § 2, убеждаемся, что при всех п имеет место равенство
(— А\ — А\ + А1) е-ш = I (I + 1) е м.
Отсюда вытекает, что при всех п имеем
&)='('+
Подставим в это равенство вместо t\ (g) его выражение через параметры Эйлера, а вместо Д — выражение (16) из п. 1. После простых преобразований получим искомое дифференциальное уравнение для функций ф^,„(сЬт) (см. уравнение (9) из п. 5 § 4).
3. Разложение функций на группе QU(2). В п. 4 § 4 главы I была выяснена связь между разложением регулярного представления на неприводимые и разложением функций на группе по матричным элементам неприводимых представлений. В этом пункте будет построено разложение функций f(g) на группе QU(2), имеющих интегрируемый квадрат, по матричным элементам представлений T\(g). При этом
оказывается, что в разложение входят лишь унитарные представления первой и второй основных серий и представления дискретной серии.
Итак, пусть f(g)=f (ср, т, ф) — функция из пространства .?), т. е. функция на группе QU(2), имеющая интегрируемый квадрат. Из формулы (5) п. 3 § 1 следует, что для /(ср, т, ф) выполняются равенства
f (ср, т, ф) =/(ср -(- 4тг, т, ф) =/(ср, х, ф —(— 4тг) —/(ср —(— 2тс, х, ф —[— 2тг). (1)
Поэтому функцию / (ср, т, ф) можно разложить в двойной ряд Фурье по ср и ф вида
