Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
k = — CO
где
ch x = ch xj ch x2 -|- sh T! sh x4 cos cps. (4)
Используя формулу (2) п. 6 § 3, перепишем это равенство в виде
СО
ф,(сЬт)= 2 ^^(chT^r^chT,). (5)
k = — СО
Формула сложения для присоединенных функций Лежандра получается, если положить в равенстве (6) п. 1 п = 0. Мы получаем
СО
е~ШчФГ (ch X) = 2 ijrfJTT)е^’2(dI ^ (dl (6)
к ----- — со
где числа ср, х, ф.,, ^ связаны соотношениями (4)—(4") п. 1.
4. Формула умножения. Умножим обе части формулы (6) п. 1 на е1к<е* и проинтегрируем по ср3 от 0 до 2тт. Мы получим
$'«* (ch xj) spL, (ch xa) = 1 J e11 sp«m<1 (ch x) d^. (1)
o’
В этой формуле параметры ср, <]>, ср9, х1; т2, т связаны соотношениями (4)—(4") п. 1.
При т = п = 0 из формулы (1) получаем, используя соотношение (2) п. 6 § 3,
Ф? (ch Tj) ^Г k (ch т*) = — ^ (ch Tj ch т2 sh xj sh x2 cos <p2) (2)
o*
В частности,
2тг
(ch X!) ЦЗ/ (ch та)= ~ ^ (ch Tj ch т.2 -j- sh тц sh x2 cos ср2) rfcp2. (3)
о
Полученные формулы имеют простой геометрический смысл, аналогичный геометрическому смыслу формул (2')—(3) п. 3 § 4 главы III. В самом деле рассмотрим верхнюю полу двуполостного гиперболоида
— *? — *! + *! =*= 1, х, > 0.
326 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2) [ГЛ. VI
Введем на этой поле метрику, приняв за расстояние между точками М (*!, xs, xt) и N(ylt уг, у3) число т, где
ch’z — — x1y1 — xaya + xtft. (4)
Наконец, введем на гиперболоиде параметры т, <р, положив
Ху = sh т sin <р, х2 = sh т cos <р,
A:3 = ch т.
Функции ф* (ch т) можно рассматривать как функции на гиперболоиде.
Рассмотрим окружность с центром в точке М (т1( 0) и радиусом. т2. Точки N этой окружности задаются числом <р2— углом между геодезическими линиями, соединяющими М с N и с точкой 0(0, 0, 1). Нетрудно показать, что для точки N, соответствующей значению параметра <р2, координата т такова, что ch т = ch zL ch т2 -|- sh zL sh т2 cos <p2. Поэтому формула (3) означает, что (ch Tj) (ch т2) является средним значением функции (ch т) на указанной окружности. Аналогичный смысл имеет и формула (2), дающая значение коэффициентов Фурье для ф; (ch т), рассматриваемого как функция от <р2.
Перепишем, далее, формулу (2) .в виде Ф* (ch Tj) фГ * (ch т2) =
1Z
= (cfl Ti cl1 т-2 + sh Tisfl т‘2 cos Ti) cos (5)
о
и сделаем замену переменной
ch Tj ch ^4 + sh xj sh cos <f>s = ch x. (6)
Мы получим
(chTj)^r*(ch т2) =
Ч + T2 SP / 1 \ 'Г [ Cl1 Т - Cl1 Ti Ch T2
У [ch (tj t2) — ch x] [ch т — ch (Tt -
hi —•'a I
Здесь в соответствии с п. 3 § 7 главы III положено Tk (х)= cos (k arc cos x).
В частности, при ? = 0 получаем (ch т0^г (ch т*) =
(7)
___Г ________________________Уг (ch т) sh т dz____________ ^
* 3 v[ch (Tt + т2) — ch т] [ch т — ch (т^ — т2)] '
I Ti — та I
Выражение в знаменателе формул (7) и (8) является нормированной площадью треугольника на гиперболоиде —xf — лг| —= 1 со сторонами т1( та, т-(в указанной выше метрике).
8 41 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ (сН т) 327
* 1 ^ ТПП
б. Рекуррентные формулы. Рекуррентные формулы для функций (z) выводятся из теоремы сложения точно так же, как и рекуррентные формулы для функций Plmn{z) (см. п. 4 § 7 главы III). Поэтому мы опускаем вывод, указав лишь окончательные результаты. Имеют место равенства
V Z* - 1 --Тг---= ~Y- $m,„-l(2) + —g- фш.л+lO) (1)
И
Y=f (*) ¦= ¦- Цр Ф«. „ - i (*) + ^ $«.» +1 (г)- (2)
Эти равенства получаются дифференцированием по т3 формул (7) и
(13) п. 1, с последующей подстановкой т2 = 0. Из них вытекает, что
+ у^=[ $¦» (*> = (^ - ») Ф».» +1 (г) (3)
И
+ (г) = (/ + п) ф'т, „ _, (г). (4)
Пользуясь соотношениями симметрии (3') п. 6 § 3, получаем отсюда
yjTZTJ + (z) = (/ + и + 1) „ (г) (5)
И г
sp'm<1(z:) = (/_OT + 1)sp'm_I><1(zr). (6)
