Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
308 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) [ГЛ. VI
Подынтегральная функция в этой формуле имеет внутри контура Г две точки ветвления, z = 0 и z =-------с показателями т.—/+е—1
а 1
и I — л— s соответственно. Так как сумма этих показателей равна целому числу т — л—1, то подынтегральная функция однозначно определена на контуре Г.
Разложим матричные элементы по степеням а, р, а, р. Так как | а | > | Р |, ТО
00
/•“ I о.10\/+л+? _ ^/+л+8 V Г (/ -f- /г —)— е —)— 1) /pe'0\*
(а_гРе — T(k+i)f(i+n-k + rfvrvT} ¦
fc=0
Аналогично,
т _
Г(/ —rt —e+l)
fc=0
Перемножая эти разложения и подставляя полученный ряд в интеграл (4), получаем
&л fe) = Г (/ + л + в + 1) Г (/ — л — е + 1) Ъ.1^у~т X
СО
V У _!iH!f_
л L. Г(з+1)Г(/—п—s—е+1)Г(п-т+8+1)Г(/+т—s+e+1)'
.9 = тах(0, т—п)
(в)
2. Выражение через углы Эйлера. Выбранный нами базис (г '”*}
в пространстве 3) удобен тем, что в нем весьма простой вид имеют
матрицы операторов Ту (/г), где
h (ё* 0 \ m
\ _« ()
\ 0 е V
— диагональные матрицы. Из формулы (1) п. 2 видно, что оператор Тх (h) имеет вид
Тг (h)f(ei6) = e~uf(emH)) (2)
и, следовательно,
тг (h) ё'ш = е-1(т^е~ ш\ (3)
Поэтому матрица оператора Т (Л) в базисе {e~im6} является бесконечной диагональной матрицей, на главной диагонали которой стоят числа
§ 31 матричные элементы прсдставлений rx[g) 309
В п. 2 § 1 было показано, что любой элемент g группы QU(2) может быть представлен в виде
S= 1 i* . - , ii> > (4)
где tp, z, ф — углы Эйлера матрицы g. Поскольку матрица представления Тх (g) для диагональных матриц уже найдена, осталось найти матрицу оператора Тх (gz), соответствующего элементу
J*T shY
\shT chT.
группы QCJ(2).
Подставив в формулу (4) п. 1
o. = ch~, p = sh-^,
получим
tmn {"-) =
2л
: J (chy + sh ~ е^Л+? (cli-J + sh ~ ei(m~n)b dO. (5)
0
Введем функцию (ch положив Й/i (ch t) =
2iz
= S S + (chT + (6)
0
где 0 =g: z со, I — любое комплексное число, a tn, n — либо одновременно целые числа, либо одновременно полуцелые числа. Сравнивая формулы (5) и (6), получаем выражение thn(gz) через ^тл(сЬт):
tmn fe) = фт'л' (ch l), X — (А е)> (7)
где т.’ = m -)- s, п = п-\-г.
Теперь уже легко выразить tmn(g) через углы Эйлера матрицы g. Из разложения (4) вытекает, что
Tx(g)=Tx(hv)Tx(gz)Tx(h), (8)
310 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2) [ГЛ. VI
где через hт и А обозначены диагональные матрицы, а ^ — матрица
/chT shy\
. Мы видели, что Т (h ) и Т' (h ) — диагональные
\shT chT^
матрицы, на главных диагоналях которых стоят соответственно элементы е~'<p(m+E) = ?— im'f и гФ(л+ =) = ?—'«'Ф. Элементы же матрицы Тг (gz) равны ^т'л' (ch х). Поэтому элементы матрицы Тг (g) имеют следующий вид:
tfhnib т> ^) = е~1(т'9+пЧ/)^1т'п' (ch т), (9)
где х = (4 е)> ni = т-\-ъ, л' = л-|-8. Тем самым получено выражение х, ф) через углы Эйлера.
3. Различные выражения функций фтл(^)* Мы доказали в предыдущем пункте, что матричные элементы представлений Т„ (g) выражаются через показательную функцию и функции $пл(г). Перейдем к изучению функций фlmn (z). Поскольку эти функции играют для группы QU(2) ту же роль, что функции Plmn(z) для группы 56^(2), назовем fL (^) функцией Якоби от г.
Из полученных в п. 1 выражений для матричных элементов ^mnfe) вытекают соответствующие выражения для функций фтл(сЬ т). Именно, полагая в формуле (5) п. 1 a = chy, [3 = shy, имеем
$L(chT) = ^ (chy+ zshyji+ (zchy+shy)* ” zm~l~l dz, (1)
г
где Г—окружность [г[=1.
Точно так же, полагая в формуле (6) п. 1 a=chy, [3 —shy, находим
(ch т) = Г (/ + я + 1) Г (/ - я + 1) (cb-l)*' (th m x
