Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
V ‘""I
X T(n — m + s+\)T(l + m— s+l)r(s+1)Г(/--л — s+1)’
s=max(0, m — n)
(2)
Из формулы (2) вытекает, что (1) = 8m„, где Ьтп — символ Кро-некера. Это легко получить непосредственно: при т = 0 матрица gz явля'ется единичной и поэтому T^lg^)— единичный оператор.
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Г ^ (g)
311
Выведем дальнейшие интегральные представления для ^mn(chx). Перепишем формулу (1) в виде
$L(chT) =
l-n (
xdz.
(3)
При этом в силу теоремы Коши мы можем считать, что Г — окружность \z\ = a, где l<^a<^cthy.
Сделав в интеграле (3) подстановку
w= ch х ¦
*3 + 1 2z
sh х,
получим Фтл (Ch т) = Здесь
2 л г
W
1-П
ch-^—|— ^ sh ¦
2 ! у w2— 2га» ch х —f- 1
w — ch х ± Y w2 — 2w ch х —)— 1 sh х
(4)
(5)
причем знак корня выбирается так, чтобы выполнялись неравенства
1
[ г [ cth у. Через F (рис. 4)
W
,, Q)-
обозначен контур, охватывающий отрезок [е-1; ет] против часовой стрелки и пересекающий вещественную ось в промежутках (0, е z) и (ez, со). На этом контуре подынтегральная функция однозначно определена, если выбрать знак корня в формуле (5) как указано выше, а под wl~n понимать выражение ехр [(/—tt) In w\, где In w — главное значение логарифма.
Подстановка w = e‘ преобразует полученное выражение в
Г
Рис. 4.
(ch х) =
~id§e "+2^(ch | + ^sh-
zm ndt
Y2 (ch t — ch z)
(6)
312
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2)
[ГЛ. VI
Здесь Г' (рис. 5) — контур, лежащий в полосе — тс Im t тс и охватывающий отрезок [— х, х] против часовой стрелки. Значение z получается из (5) заменой w = e‘.
В формуле (3) в качестве Г можно взять и окружность радиуса а,
где th-y<^a<^l. В этом случае мы
получим выражение вида (4), но контур Г' пробегается по часовой стрелке, а знак корня в (5) выбирается гак, что
th-f <и<1.
Стягивая в полученных формулах контуры интегрирования к охватываемым ими отрезкам, получаем выражения для ^m„(chx) в виде обычных интегралов. Например, мы получаем
$pL(chx) = -^-
У 2(ch х— ch t)
X
X
Здесь
zf~n (ch z+sh -
l]dt.
(7)
el — cht ± ie 2 У 2 (ch x — ch t)
sh'
(8)
Полученное выражение упрощается, если п=т или п = 0. При п=т получаем после простых преобразований
, 3j ЛИРИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Т (g) 313
Эту формулу можно записать в виде
_ 'сь(/-л + т)
флл (ch т) = -
tT
"j/~ch2 — ch2 f-
где Тп (х) - многочлен Чебышева:
Тп (х) = cos (п arccos х).
Если же п = 0, то получаем
!p‘-(ch,)= ' ( Л. ,12)
^ 2к V2(chi~ch t)
Это выражение можно переписать в следующем виде:
, Ге(1 + ^*Тт(^=^)м
пгг , , s II V sh х У л,.
фт0(сМ=—¦ ------------------- -—----------• (12)
J Vch,T-ch>T
— т
В частности, при т = 0 получаем
т
^0(chx)=l ' '1Г =. (13)
Аналогичные формулы получаются, если выбрать в (3) контур Г,
z2 4- 1
изображенный на рис. 6. При преобразовании и> = сЬт-|------------—sh т
он переходит в контур Г', изображенный на рис. 7. Если обозначить радиус окружности с центром в точке О на рис. 7 через р, то при Р —>¦ 0 подынтегральная функция в формуле (4) есть О (pm 7+1), а радиус большой окружности есть 0(р-1). Поэтому при Re 1<^т интеграл по большой окружности стремится к нулю, когда р—>-0. Точно так же устанавливаем, что интеграл по малой окружности стремится к нулю, когда Re/^> п — 1.
314 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2)
Итак, если п—l<^Re/<^/w, то мы получаем (ch т) = ^ § wl~n (chy + г sh •
ndw
У w2 — 2w ch x +
(14)
где контур Г' охватывает отрицательную полуось по часовой стрелке. Знак корня выбран так, чтобы значение z, определяемое формулой (5), удовлетворяло неравенствам
шт<И<1-
О-r л г .
v>---7ГХ. s)
-th?
Рис. 6.
Стянем контур к отрицательной полуоси; получим
(ch т) =
sin (/ — ti) к f i-п I и х i t. T zm ndw
