Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
V "2 /1 Л
h = t~lgt, t = ~- I I (см. п. 1 § 1 главы VI). В параметрах а, р,
у, 8 представление записывается в виде
7'xfe)®(2) = ®[(^ + i^)2 + (^±1 + i^2] (2)
(см. п. 1 § 1 главы VI, формулы (2), (2')).
Более удобная запись представления получится, если перейти от комплексного числа z = x~\~iy к паре вещественных чисел и = х—у, v = x-\-y, или, иначе,
1 + i ’ 1 +1 ¦
Простой подсчет показывает, что оператору (2) соответствует оператор
тг (g) ? (!!> v) = f(aii~\~yv, рн -\- 8г») (3)
в пространстве функций
ср (гг, г») = ф(г). (4)
При этом функции ср (гг, г;) бесконечно дифференцируемы, имеют степень однородности 21 и четность 2е.
Таким образом, мы получили следующую реализацию представлений группы SL(2, R). Пусть х = (У> е)> гДе I—комплексное число,
и е = 0, -g-. Обозначим через пространство бесконечно дифференцируемых функций ср (jc, у) двух вещественных переменных хну, таких, что для любого вещественного числа а выполняется равенство
ср (ах, ау) = | а |а/ (sign а)%гср (х, у). (5)
Операторы Tx(g) представления группы SL (2, R) определим формулой
тх (#) ? (х’ У) = ? (ах + ТУ’ Рх + 5-У)< (6)
(а р\
где ср (х, у) ? и g= ^ 8 j ? (2, R).
Перейдем от описанной реализации представлений к реализации в пространстве функций f(x), заданных на вещественной оси. Каждой функции ср(х,у) из пространства ф поставим в соответствие функцию одного переменного
f(x) = <?(x, 1). (7)
В силу соотношения однородности (5) функция ср (jc, у) выражается через / (х) по формуле
ср(х, у) = \у |J,(signjOs,<p(y, 1) = l>'|a'(sign^)a7(y). (8)
356 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Очевидно, что функция /(jc) бесконечно дифференцируема. Кроме того, полагая в формуле (8) х=1 и учитывая бесконечную дифференцируемость функции <р(1, у) по у, получаем, что функция
/ (у) = IУ f (signj/)36/ (у) (9)
бесконечно дифференцируема. Легко показать, что любой бесконечно дифференцируемой функции f(x), такой, что функция / (х) также бесконечно дифференцируема, соответствует по формуле (8) функция ср (х, у) из пространства 2>г
Пользуясь соотношениями (6) и (8), легко получить, что операторы представления Tx(g) при переходе от у(х,у) к/(х) принимают следующий вид:
Тх = | р* + 8 |« sign35 (р*. + 8)/(g±^) • (Ю)
2. Другая реализация представлений Tx(g). Перейдем к другой реализации представлений Тх (§). Для этого каждой функции /(х) из 3) поставим в соответствие пару функций (F+(k), F_ (X)), определяемых формулами
СО СО
F+(X) = § хх~л/(х) dx= ^ x\~lf(x)dx (1)
и — СО
И
со со
F_ (X) = ^ хх~ */(— x)dx= ^ х1 lf(x) dx. (2)
0 — со
Иными словами, эти функции являются преобразованиями Меллина функций f(x) и /(—jc), рассматриваемых на полуоси 0=^х<^оо.
Выясним, при каких значениях X интегралы (1) и (2) сходятся. Пусть f(x)(^ 2)г Из равенства (1) вытекает, что при | х | —» оо имеем
1/(*)1~|/(0)||*|" . (3)
Поэтому интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся на бесконечности, если Re (Х-|-2/)^> 0. В нуле эти интегралы сходятся при ReX^>0. Итак, интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся в полосе 0<^ReX<^
— 2 Re/. В этой полосе они определяют F+(X) и F_(X) как аналитические функции от X.
Далее, из результатов п. 2 § 5 главы II легко следует, что если f (х) Tl и 0<^а<^ — 2 Re/, то функции F+ (а-|-/(i) и F_(a-\-t\>) быстро убывают при | [х | —> оо.
Вне полосы 0<^ReX<^—2 Re/ функции F+(X) и F_(X) определяются. путем аналитического продолжения по X.
§ 31
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SL (2, 7?)
357
Как было показано в п. 3 § 4 главы II, функция f(x) выражается через функции F±(k) и F_(V) по следующей формуле обращения:
f{x) =
a-{-i со
2т. i
• ^ F+ Мх х^>
a — ico а -\-ica
2~J J F_(X)(-xrxdk,. *<0,
а — г со
(4)
где а — любая точка промежутка 0<^а<^—2 Re/. При этом имеет место равенство Планшереля
СО
§ l/(.v)ladv =
о -J- i со
a -f- i со
= 2Й S /%0--Х)Л’+(Х)<А J /=•_(! — [(5)
При Х = ~2--|-/р эти формулы принимают симметричный вид:
ф± (Р) = ^ f(x)x+ 2 ИР
f{x) =
2 тс
СО
ф+(р)-
-т -‘Р
</р,
О,
(6)
(7)
