Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
¦п /г 1 114 п — т т + п
г(/ +Л+ 1) , _ . 2 , , , 2
2лГ(/+т + 1)(я — т)\ ( 4 ( ' ’ А
X F [ п -\- I -\- 1, п — l;n — tn -\- 1; —=—). (6)
В частности, при т = 0 получаем
/-7ч Г (/ -|- л -|- 1) „/ . _ Г (/ -|- 1)
+v(2) Г(/+1) Г(/ —л+
_ Г(/ + л+1)
2ЛГ(/—л+ 1) л!
Г Л -|- 1) IZ — [
(22— \у F я + /+1,я — /; л+1;
Г(/-л+1)лПг+1У (7)
Полученные выражения показывают, что изученные нами функции Ртл(г) и $mn{z) сводятся к гипергеометрической функции. При этом получаются гипергеометрические функции с некоторыми условиями целочисленности на параметры, а, р, у. Например, для функции Plmn (z) получаем, что a=l-\- tn-\- I, $ = tn — /, ~[=т — п-1-1 и потому а, р, у — целые числа.
Чтобы получить теоретико-групповое истолкование гипергеометрической функции в общем случае, надо рассмотреть представления группы SL (2, R) вещественных унимодулярных матриц второго порядка,
при которых диагональным матрицам соответствуют операторы умно-
жения на функцию.
§ 2. Группа SL (2, R) вещественных унимодулярных л матриц второго порядка
1. Вводные замечания. Мы рассмотрели в предыдущей главе представления группы QU(2), при которых диагональные матрицы изображаются (бесконечными) диагональными же матрицами. Как уже указывалось в п. 2 § 1 главы VI, эти представления соответствуют представлениям группы SL (2, R) вещественных унимодулярных матриц второго порядка, при которых элементы подгруппы SO (2) матриц (cost —sin t\
вида (Sjn? -Qs tl из°бражаются диагональными матрицами (на-
помним, что группы QU(2) и SL(2, R) изоморфны).
В этой главе будет рассмотрена реализация представлений группы SL (2, R), при которой особенно просто изображаются диагональ-
ГРУППА SL (2, R)
351
ные матрицы
О е1)' Именно, этим матрицам будут соответствовать
операторы умножения на функцию. В то же время элементам под-
группы SO (2), а также элементам вида ( ^ при такой реа-
лизации соответствуют интегральные преобразования, ядро которых выражается через гипергеометрическую функцию. Для треугольных матриц гипергеометрическая функция вырождается в степенную. Исходя из этой св>:зи представлений группы SL (2, R) и гипергеометрической функции будут установлены различные свойства последней. В частности, будут получены континуальные аналоги теоремы сложения для гипергеометрической функции, а также — путем рассмотрения инфинитезимальных операторов — рекуррентные соотношения для нее.
В конце главы рассмотрим еще одну реализацию представлений группы SL (2, R), а именно, реализацию, при которой операторы
умножения на функцию соответствуют треугольным матрицам
Мы увидим, что при этой реализации возникают интегральные преобразования, ядра которых выражаются через функции Ганкеля. Поэтому рассмотрение таких представлений дает новый подход к теоретико-групповой трактовке функций Ганкеля.
2. Параметризация. В качестве параметров в группе SL (2, R) можно выбрать три вещественных числа а, у, 8. Значение р определяется при уфО из равенства а8— p-j-=l. В точках, где 7— О, можно взять другие три элемента матрицы g (все четыре элемента а, р, у, 8 не могут обратиться в нуль, поскольку а8 — p-j-=l).
Во многих случаях удобна другая параметризация группы SL (2, R), аналогичная параметризации группы SU(2) с помощью углов Эйлера. Она основана на следующем утверждении.
Теорема 1. Любая матрица g из группы SL(2,R), все элементы которой отличны от нуля, может быть представлена в виде
где е1( е2 = 0, 1, dx и d% — диагональные матрицы с положительными элементами
ch t sh ?
g=d i(— e)6‘ sc*pdt,
(1)
a p — матрица одного из следующих двух типов:
— со 0 со,
(2)
(3)
352 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Докажем сначала следующую лемму:
Лемма. Пусть g={^ — матрица из группы SL(2,R), та-
кая, что |а| = |8|, |р| = |-]-|, \а\^\$ \ и а^>0. Тогда она является либо матрицей вида
ch 0 sh 0 sh 0 ch 0
либо матрицей вида
__/cos 0 —sin О
^ у sin 0 cos О
— оо 0 оо, (4)
;в<т- (5)
Доказательство. Так как аЬ—р7= 1 и | «8 | ^ | [^ |, то а§^>0. Поэтому а = 8^>0. Пусть а = 8 1. Так как а8 — 1 =р7, то
и, поскольку |р| = |т|> то р — у. Полагая p = sh0, получаем а = ch 0, следовательно, матрица g имеет вид (4).
Пусть теперь а = 8<^1. Тогда из равенства а§—1 =р7 получаем р]<^0 и потому 7 = — р. При a=cos0, р — — sin 0 матрица
g имеет вид (5). Здесь —поскольку <х^>0, |<*|^>|Р|.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Положим
