Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
00 со
= 21 ^ xxf(x) dx — ^ xk vif (х) dx.
§4) ВЫЧИСЛЕНИЕ ЯДЕР ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (?) 363
Интегрируя по частям и учитывая, что
00
I xX lf(x) dx = F_v (X),
О
получаем
00
5 xx^AJ(x) dx=(2l^ X + 1) F+ (к 4-1).
О
Аналогично выводится, что 00
5 1 (AJ) (- x)dx=- (2/+ X + 1) F.(k + 1).
о
Таким образом, инфинитезимальный оператор представления Rx(g)> соответствующий подгруппе 2+, имеет вид
B+(F+(k), F (Х)) =
= ((2/+X+l)F+(x+1). -(2/ + * + 1)/^ + 1)). (8)
Совершенно так же доказывается, что подгруппе Q_ соответствует инфинитезимальный оператор
В_ (/% (X), F_ (X)) = (- (X - 1) F+ (X - 1), (X - 1 )F_(k- 1)), (9)
а подгруппе 23 — оператор
Вг (FM F. (X)) = ((2/ + 2>0 F+ (к), (21 + 2Х) (X)). (10)
Инфинитезимальные операторы, соответствующие подгруппам и 2а, являются линейными комбинациями операторов В+ и В_.
В, (F+ (X), (X)) = ((21 + X + 1) F+ (к + 1) - (X - 1) F+ (к - 1),
- (2/+X+1)F„(X+!) + (*-I)/7-(*-!))> (П)
В2 (F+ (X), (X)) = (- (2/+ X + 1) F+ (X + 1) - (X - 1) F+ (X - 1),
(2/+X+ l)/v(X+ 1) + (X- 1)F_(X- 1)). (12)
§ 4. Вычисление ядер представления Rx (g)
1. Вычисление K(k; jut; f, ft) и K(k; (a; и). В п. 2 § 2 было
показано, что любая матрица ^из группы SL(2,R) может быть представлена в виде произведения диагональных матриц, матрицы s =
и матрицы, имеющей либо вид /ch 0 sh6'
Зб4 представления группы УнймоДулярныХ матриц [Гл. vtl
Для диагональных матриц, а также матрицы s, мы уже нашли вид оператора представления. Поэтому достаточно вычислить ядра для операторов Rx (/г) и Rx (и), где h и и — матрицы, имеющие соответственно вид (1) и (2). Начнем с матриц вида
/Ch0 sh ^sh 0 ch
при 0^>O. Из формулы (8) п. 3 § 3 вытекает, что
^++(х> к h) =
00
= Ш J Iх sh 9 + ch е |« Sign2' (х sh 0 + ch 0) dx.
Но при 6^>0, х^>0 мы имеем х ch 0 -)- sh 0^>О и х sh6-f- ch0^> О, потому
00 •
Л"++ (X, [х; х; h) = "2~j ^ хХ 1 (х ch 0 -|- sh 0)‘|J- (jc sh 0 ch b)ilJrV-dx. (3)
о
Сделаем в этом интеграле подстановку х=у th 0 и воспользуемся формулой (2) п. 3 § 1. После простых преобразований получим при 0^>О
АГ++(Х, (i; х; h) =
_ I Г (К) Г ( \ 21) sh4**^ 6 / _ J_\
2 яг Г (—2/) ch^+i'-e^i “ ’ sh2e) *¦'
или, по формуле (5) п. 2 § 1,
К: : (^> [Ч Xl ^0
_ 1 Г(Х)Г(-Х-2/)сЬ*+1*Ч8 с Л (1. ____М+П
2я« Г (—2/) sh*+M F\’ sha 0 J - (4)
Заметим, что интеграл (3) абсолютно сходится в области 0<^ReX<^ < — 2 Re/.
Остальные элементы матрицы К(Х, ;х; х> вычисляются точно так же. Приведем результаты вычисления:
*+-(*. F, х; *)=о, (5)
^(1, К х; A)=2^ch^'0X
x[^-|^^ysh^0F(X, Х+2/+1; X-jx+1; -sh20) +
____1 чЗг1 Л —а) *¦ КУ- Т ^ Ч о w
4 Г(|л — Х+1) sn Х
д.г (— X —2/) Г (и + 2/ + 1)
+ 1)
Х/7(р,[^+2/+1; (х-Х+1; -sh*0)],- (6)
§ 4) ВЫЧИСЛЕНИЕ ЯДЬР ПРЕДСТАВЛЕНИЯ К (?) 365
где 0<^ReX<^— 2Re/, —1—2Re/<^ Re (J. 1,
к п а- у /г)- 1 Г(1-р)Г(р + 2/ + 1)
Д__(А, (1, X, П)— 2я. г(2/+2) Х
х sh-^-^ 4/“а 0 ch^+2i 0 F (X + 21 + 1, [X + 21 + 1; 21 + 2; - ^ , (7)
где —1—2Re/<^Re(J.<^l.
Из формул (4) — (7) и соотношения (5) п. 2 § 1 для гипергеомег-рической функции вытекает, что
к++ (К 14 х; Щ = (- х - 21, - [X - 21; Х; А) (8)
и
К__(К [J-; х; А) = К__ (— X — 21, — [X — 21; Х; h), (9)
а также, что
tf_+(X, [X; х; А) = ( — I)'26 Л1+ ( — X — 2/, — [I — 21; Х; А). (10)
ch 0 — sh 0\
Вычислим теперь ядро оператора Rx(hl), А-1 — . ¦
0 0. Для этого заметим, что
А-1 = shs (— ё),
где
0 Ч, -е=М °) „ „ = /с|1в sh
— 10/ I 0 — \ \sh 0 ch
Поэтому
S V* /------J,-x w JXx JXX w "-х
/?- (А"1) = R, (s) R, (А) /?_ (s) Rx (- e).
Операторы Rx(s) и /?х(— ё) были вычислены в п. 3 § 3. Пользуясь данным там описанием и принимая во внимание соотношения (8) — (10), без труда устанавливаем, что матрица К (К (J.; х; А^1) получается из матрицы К (k, [ч X! путем изменения обоих знаков-индексов.
