Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Иными словами,
К^(К К х; h^l) = K__(K (J.; х; h),
K_.v (X, 14 X; hl) = o
и т. д.
Перейдем теперь к оператору Rx (и), где
366 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Совершенно так же, как и для матрицы h, получаем К il- v иЛ__ 1 Г (У) Г (p. -j- 2/ -j~ О w
а++(Х, ;х, х, и) 2я1 Г(Х+р. + 2/+1) X
рг)сХ+(А+2/ А
F^ w * + P + 2/+i; — ctg9 6), (13)
где 0 Re X и — 1 — 2 Re / <^ Re <x;
K, (>., |x; x; i?) =
= (_!)- sin M 6 cos- м* О X
2nt Г (fi -- X -f 1) ^
XF( — \ — 2l, и fx-X + 1; -tg20), (14)
где Re X — 2 Re / и — 1 — 2 Re / <^ Re <x;
К О tx- у и)— 1 Г (Х)Г (1 — р.) ^
д-+"’ & и)~2 jci Г(Х —
X sin х cos'1 ^'е/^Х, — (х — 2/; X — ;х + 1; — tga 0), (15)
где 0 Re X, Re ;х 1;
к а и. у. .л_ 1 г(-х-2/)Г(1-р)
А _(л. Ь /„ И)— 2 „/ Г (1 — X — [х —2/) Х
X sinx+l*Hi0cos“x“l*'a/eF(l — X, 1 —(х; 1 —X—(х —2/; — ctg2 0),'(16)
где ReX<^—2Re/ и Re(x<^l.
И в этом случае при замене и на гГ1 меняются оба знака-индекса:
К++(К F, х: м *) = Л".. (X, |х; у; и), (17)
#+_(*¦> р-; х; м_1)=^-+(^. w х; «)> (170
и т. д. Здесь
cos 0 sin 0\ я
- sin 0 cos в)’ °<6<Т-
2. Случай треугольных матриц. В случае, когда матрица g — треугольная, выражение ядра оператора Rx (g) упрощается — гипер-геометрич&кие функции вырождаются в степенные. Пусть, например, /1 О)
2 = 1 I, 7^>0. В этом случае по формуле (8) п. 3 § 3 мы имеем
СО
К++(Ь> К х; z)=2^[^ Xl i(x -f т) 11 dx.
(1)
Этот интеграл сходится в области 0 Re X Re ;х. Используя фор’мулу (7) п. 6 § 1 главы V, находим
к„<1. к X.' *)=5^Шг55гН*м‘- <2>
чаются из ядра оператора Rx(z). Например, пусть ?=( , ). Тогда
§ 4) ВЫЧИСЛЕНИЕ ЯДЕР ПРЕДСТАВЛЕНИЯ R (?) 367
Точно так же получаем
AV(>-, 14 z) = 0, (3)
К (\ а- v ________ 1 Г(Х)Г(1 р.) х-ц
^-+( ’ ' 2 nt Г(Х — (л 4- 1) ТГ > (4)
где 0 Re X и Re [j. 1,
к п ... _ 1 Г(1 —ц)Г([1—X)
/С_(А, (1, /, 2)— 2я. Г (1 — х) ? > (5)
где Re X Re (j. 1.
И здесь при замене у на — у надо изменить оба знака-индекса:
^++(х> F> Г> z) = /C_(X, (i; х; (6)
и т. д.
Для других треугольных матриц ядра операторов легко полу-
1
'О !¦
имеет место равенство
С = sz~*s (— ё),
где s= ( j q) и 2'1=(______________р j)- ПоэтомУ
Rx (0 = Rx (s) Rx (z*) Rx (s) (— e). (7)
Используя найденные выше выражения для операторов Rx (s) и Rx( — е), а также найденное ядро оператора Rx (z), получаем при р О
К (\ и-- у С)— 1 Г ^ 21) /оч
а++(А> t1. Ъ Q 2 Jti Г(—|Л—2/) Р ’ ^ '
где Re (J. Re X — 2 Re /;
АГ+ЛХ, (х; х; 0—0; (9)
К п .г у О_С — 1)” г(и + 2/+ 1)Г(—X —2/) ^ пш
Д-+^’ ^ X» у— 2я Г(и— Х + 1) Р ’ ' U)
где Re X — 2 Re /, — 1 — 2Re / <^ Re (J.;
к V" «ч » 0=2^
где —1—2Re / <^ Re (J. Re X.
И в этом случае при переходе от матрицы ? к матрице С_1 = (1 Ч
\0 1/
надо изменить знаки-индексы:
АГ++(Х, (х; х; С-1) — А”— (X, К X! О, О?)
и т. д.
А" (X tv v С)— I I (>¦ -;*) Г О + 2/+ О оц >.
^ Х> У 2 Jti Г(Х+2/ + 1) ” ’ *¦И'
368 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
( а ( 0
Для матриц вида I i о/ И \ 18/ ЯД^3 вычисляются точно
так же. Мы предоставляем провести это вычисление читателю.
3. Общий случай. Полученных выше результатов достаточно,
чтобы вычислить ядро оператора Rx(g) для любого элемента g группы
/а В\
SL(2, R). Если все матричные элементы матрицы g= I М отличны
от нуля, то, как было показано в п. 2 § 2, эту матрицу можно записать в виде
g= d\ (— e)si s*‘p d^, (1)
I 0 1\ /—1 0\
где s=l ^ q I, —e = l I, d, и d-ч — диагональные мат-
