Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
сравним ядра получающихся операторов слева и справа.
Найдем ядро оператора Ry(h) В+. Как было показано в п. 5 § 3, оператор В+ переводит пару F ([i) = (F_t ([Д F_ (р*)) в пару
?+F (rf = ((2/ + (х + 1) F+ (fv+ 1), - (21+ (х + 1) F_ (р ¦+ 1)). (1)
Оператор же Rx(h) является интегральным оператором с ядром
КА w * ч=/*«л ч 0 )
\К. rt К... О.,
374 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ . [ГЛ. VII
(для краткости мы опустили справа аргументы х и А). Поэтому
Ry (h)B J = (F, (X), F _ (X», (2)
где
а + i со
?+(Х) = $ /f++(X, ii)(2/+^+l)F+(ii+l)dii, (3)
а — / со
a -f- i со
?--(*)=- *-+(*> [х)(2/+[х+ 1)^+(ц+ 1)^-
а — I со
а + / со
~ S /С_(Х, К.)(2/+ц+1)/7_(р+ l)dp. (4)
Заменяя р. на [J.— 1, убеждаемся, что ядро оператора Rx(h)B+
(5)
'х
имеет вид
( (2/+[x)tf++(X, [х-1) О
V-(2/+ii)/C+(X, Р--1) (2/ —f- fx) А"—(X, [i 1)
Чтобы найти ядро оператора в правой части равенства (8) п. 1, достаточно заметить, что оператор В3 сводится к умножению обеих компонент пары (F+Q.), F_(X)) на 2 (X —|— /). Поэтому указанное ядро имеет вид
(и + /) ch 2*-(*+/)„ п ... . , 1 d К (X, fj-; X; h (т))
--------------------КДА, p., х, ft(<p))4-T----------------, (Ь)
где
А-
Из формул (5) и (6) следует, что
(2/+[х)^++(Х, ц-1) =
((, + /)ch2<p-(X + /) „ , 1 dK^(\v)
—---------ih2i---------А++(Х, -------. (7)
Подставим в это равенство выражение Л'++(Х, ;х; А), даваемое
формулой (4) п. 1 § 4. После простых преобразований, заме-
нив —gin^y на z, X на a, |i на р и —21 на у, получим следующее
соотношение для гипергеометрической функции:
(Р — f)F(a, Р 1; т; z) + (7 — р — <xz)F(<x, Р; Т; z) +
+ z(l-z)dF(a>% Г’ z)=0. (8)
§ 5] ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 375
Используя формулу (2) п. 2 § 1, можно переписать равенство (8) в следующем виде:
(Р — т) ^ (а> Р — т; 2) + (Т— Р — ctz)F(ct, р; у; г)+
-z(l—z)F(a-|-l, Р —)— 1; 7 —J— 1; z) = 0. (9)
В силу симметричности гипергеометрической функции относительно параметров а и р, отсюда следует, что
(,<х— y)F(a — 1, Р; Т; z) -)- (Т — а — pZ) F (а, Р; Т; z) +
+ ^z(l-z)F(a+l; PH- 1; Т+1; г) = 0. (10)
Другая рекуррентная формула получается из равенства (10) п. 1.
Аналогично предыдущему устанавливаем, что ядро оператора Rx (Л) В<г имеет вид
_/ (2/Н-{х)/Г++(Х, (д.— 1) 0
(2/Н-{*)/Г_+(Х, (i-1) —(2/Н-{*)/Г__(Х, ц-1).
_(^++(К ц + 1) о \ WC+(*. Р-+!) v-K-ЛК Р-+1)/'
Подставляя это выражение в формулу (10) п. 1 и заменяя затем К++(К [х — 1), K++(k, (х), К++(К (i-f-1) согласно формуле (4') п. 1 § 4, получаем рекуррентную формулу
(аг —рг + 2р —T)F(a, Р; Т; z) -)- (т — Р) F (а, Р — 1; у; z) +
+ P(z-l)F(a, р+1; Т; z) = 0. (12)
Меняя местами аир, получаем отсюда
(Рг — az -)- 2 а — у) F(а, Р; 7; z) -)- (7 — a) F(a — 1, Р; у; г) -)-
+ a(z-l)F(a+l, р; Т; z) = 0. (13)
Аналогичные формулы получаются путем сравнения элементов К + в ядрах. После простых преобразований получаем следующие рекуррентные соотношения для гипергеометрической функции:
(а -)- р — у) F(а, Р; у; z) + F(а, р: т+ 1; z) +
+ ^(Z_l)/7(a+lf Р+1; т+1; z) = 0 (14)
и
[l — Ъ — * — 2j/?(a, Р; у; z) + F(а, Р; T+l;z) +
+ (z-l)F(a, р; T_l; z) = 0. (15)
376 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ: VII
Совершенно аналогично выводятся рекуррентные соотношения из формулы (9) п, 1. Сравнивая элементы К++ слева и справа, получаем
F(*> Р; г. z) -F(*, Р + 1; т; 2) +
Р-Ь1; т+ U 2,) = о (16)
и, по симметрии относительно аир,
F(<4 Р; Т: z) —F(a+1, Р; 7; z) +
+ у-/7(я+1. Р+1; т+1;г) = о. (17)
Далее, сравнивая элементы /С+, получаем F(a, Р; 7; z) — F(a, Р; у 1; ?)
+ 7(f~i) т+!; z) = o. (18)
Используя формулу (12) п. 1 и сравнивая элементы К\+, получим yF (а, р; Т; z) — (т — a) f (a, р+1; т+1; г) —
— “О -z) F(a+1, Р+1; Т+1; 2) = 0. (19)
В силу симметрии по я и р отсюда следует yF(a, Р; Т; z) — (у — р) F (а + 1, Р; т+1; z) —
