Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
К+ЛК v; х; Oi) = /C+_(v, К К у; 01+92) = О.
Поэтому из равенства (1) вытекает, что
а + i со
АГ++(>-, (Д.; х; 01 + 02)= $ ^++(Х’ х; 0i)AT++(v, [л; х; (2)
а — i со
Подставим в это равенство выражение для ЛГ++(Х, yj h), даваемое формулой (4) п. 1 § 4. После простых преобразований получим
а -{- i со
^ Г(м)Г(о> — V)(cth01cth02)v X
а — i со
X Z7 (Х, v; со; - ^ F (v, [л; or, - dv =
-Р, . . th^e, ( ch 0. ch 02\w „ (, 1 \ /Q4
— Г (co) th^CBj + e,) (ch (0, + 0,)) F Iх’ 14 (o; Th'(O,+0,r) ’ ( ^
где 0<^ReX<^Reco, 0<^a<^Reto. Рассмотрение других элементов матрицы К(Х, jj,; х; h) не приводит к новым соотношениям для гипер-геометрической функции.
Рассмотрим теперь случай, когда 01 0 и 02 = — 63 О,
О<0,<01. В этом случае 0t —|— 020 и потому
АГ+_(Х, v; х; 0i) = AT_+(v, р.; х; — %) = К+^(\ p.; х; 0t — 0#) = О.
390 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Поэтому равенство (2) остается справедливым и в этом случае. Теперь подстановка значений К++ приводит к соотношению
а + i со
•'¦-й ^
a — icо
XF{ 1 — V, 1 — !*; 2 — «.; =
— Г (2 to)________th*0, ( Che, у» ,
Г(1 — —<0+ 1) tht- 030,) lch03ch (б. — бз)] sn °зА
X F (х, |х; со; — sh2(0,_03)) . (4)
где 0ReX<^RecoRe|х-j- 1 <С2. Точно так же, вычисляя значение ЛГ+_(Х> |х; х; 9] — 93), мы получаем равенства:
а + i оо
л=я? [ гс-У+в (Ш’^'-лп;)х
а — i со в
Х^(1— Ц. «>-• W — (А+И — sh263)a!v = 0, (5)
а 4* i со
•«'-Я [ f(j+TT)<ctl,e' с1Н')’Х
XF[K v; <о; — Fftx, jx —со+1; |х —1; — sh363)dv = 0, (6)
в которых 0<^ReX<^Reto<^Re|x-|-l<^2, 0<^a<^Reco (при вычислении интегралов мы берем полусумму и полуразность формул, соответствующих значениям е = 0 и е = у2).
Точно так же получаем, вычисляя АГ_ + (X, |х; уг, 0, — б3),
а + i со
f‘=Sf S f^TT7<=th6'th»-)’X
а — / со
Х^(Х, «о — v; X-v+1; th* 6.) F (l - v, 1 - jx; 2 - со; - ^ th =
Г (2 — to)
cth*0, cthH-03 I ch 0, \“>
;1Ь^(0, —0.) №i0,ch(0,— 63)J 3A
„ Г(|Х — to + l)T(\ — (Л -f 1) cth^(0, —(
XF(K «о-l», X —1*-|-1; th9(e,-e3)), (7)
a i oo
ji г!:=г+>мьц-х
a — t oo
X Ш —X; V — X -|- 1; th3e,)/7( 1 — v, 1 — |x; 2 — со; — =
Г (2 —to) thP--^ (0t — 0„) / ch 0, у а v
Г(1— |х)Г(|х — X+ 1) th^th^a Vch08ch(0j — 0„)J з/4
X F (ix, со - X, [x - X + 1; th3 (6, — 63)), (8)
где 0 Re’X Re co_<^Re (x —)— 1 2, 0<^a<^Reto<^a-|-l<^2.
§61 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 391
Наконец, вычисляя К_________(К ц; %; 0,—03), получаем:
а i со
Ji=i J (th8, cth»,)¦ [ rW^~*>^(cth», tl,»,)- X
a — i oo
Xf(X, CO —v; X —v+1; th’O,)/7^, a>—K v — [л+l; th403) +
Г(о1 — Х)Г(|А— <0— 1)Г(о1 —у)Г(у —01+1) jju, th2ixfl H------------Г(у — X + 1)Г(|л — v + 1) Cth °lth °зХ
X/7^, o> —X, v — X—|—1; th3©,)/^, to —v; [x — v+l; th2 03) -f
I Г(1— H-) Г (p. — to+ 1)Г(у)Г(<д — у) 8.
' Г (2 —oi) Г (oi) St
Х,Р(—X— 1,—v — 1;2 —toк ш; =
— Г(Х)Г(1-ц) th^-H-(9, — 9,) / ch 9а \°>
— Г(Х — (J.+ 1) th*9, с№93 \ch 9j ch (9t — 93>/ А
X F (X, о» - W X - ц -U 1; th2 (0, - 0а)). (9)
и
a-f/ оо
1 С Г г(Х)Г(1 — у)Г(о>—у) > v0
— 2*7 J \Т(„ -Х)Г(Х- У+ТГг (!* - V + 1)th °lth 'hX
а — I со
XF(k, со —v; х —v+1; th^0,) /=>, gj — v; ji — v+1; th°-03)-f
I Г(1 — к.) Г (у — 0,+ 1) г (у) х
Г~((1^о) + 1) Г (у — X + 1) Г (у — [х + 1) th 0lth 0^Х
X F (v, со— X; v — X —|— 1; th20,)/7(v, со — |л; v—th203)jrfv =
= Г1+Г+Т," V>, - »•> [щ^Т X
х F(r, О, — X; ц — х —|— 1; th* (0, - 03)), (10)
где 0 Re X Re со Re |л + 1 2, 0 а Re to а -(- 1 2.
Случай 0!^>О, 0^3*0’ |®а|^>01 ие приводит к новым формулам для гипергеометрической функции.
Новые формулы того же типа получаются из равенства
I cos 0, — sin 0Д / cos 09 — sin 09\ / cos (0, -|- 02) — sin (0, -|- 09)\
\sin 0, cos 0, i \sin 09 cos 0J \sin (0, -|- 02) cos (0, -|- 09)/ '
