Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 160

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 241 >> Следующая


где a<^Re;x<^l и 0<^ReX<^—2 Re/. Точно так же, вычисляя АГ+_ (X, (х; х; g), убеждаемся, что

а + * ОО 1 ‘

2тс I

5 rfr=^Fl)<z‘cthf)‘+’F(x’ r‘ ~2,; = <12)

а — i со

где Re jx 0 Re X — 2 Re /, а 0.
§ б) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 387

Далее, вычисляя К .. + (Х, |л; х; g), мы получаем

а + i оо

J- С Г ^ ^ ,, гН -г^+у [Г (X) Г (1 - V) '.v

2я/ 3 Г (I — v) ^ ^ Г (X —v -j- I)

а — г* со

Xfft >- + 2;+1; X-,+ l;_ah,T) +

+ (_ 1)..?<1->г-гОГ||+2<+ l)sh-,f х

X^4V> v —|— 2/ —)— 1; v — Х-|-1; —sh2cp)]dv =

— e2ti (I + l) + 2(s ((1 + 0 (^ ch Q)l+iL X

xff^z^TT)811^^ x + 2^+1; *-p + i; sh2G) —|—

_|_C_ \ fs r (— x ~~ 2/) r ((* + 2/ + 1) Y

^ ^ Г(ц — X + 1) Г (1 — (j.) Stl 0X-

X l1, “Ь l;[i — X —|— 1; — sh3 0)], (13)

где 0<ReX< — 2 Re/<а + 1 < 1 + Re|л< 2.

Положим в этом равенстве е = 0, е = 1/2 и возьмем полусумму и полуразность возникающих формул. Мы получим

а -|- i со

Ш $ r^=^T)^chtP)^s^v'fX

а — i со

XF(k, X —|— 2/ —|— 1; X — v —|— 1; — sh2cp)dv =

. e2tl (* + о н- 2ta (li + (г, Ch 0)?'+)1 sh^0 X

Г (X — (j. 1) \ch ср/

Х^(Х, Х + 2/+ 1; X — (Л+ 1; — sh3 6) (14)

а -f- / оо

К? $

а — i со

Х^(Л V + 2/+I; V —Х+1; — sh2cp) rfv =

= г^Х+ТЩТ^^ ("+1°+2^ ^ 0 (^”)2/C^i ch 0)^ ^ sh-^0X

X F (р., (-*• —|— 2/ —|— 1; [л — X —|— 1; —sh2 в). (15)

Точно так же, вычисляя АГ__(Х, [л; у, g), получаем:

а •-{- / оо

2Д 5 Г(V)г(1 -,)(г, Chт)»~ [щ-_ v + y»>(v_ТТТ)8h--f X

а — i со

XF(k, Х + 2/+1; X — v —|— 1; — shacp) -j-

_1_ r(lJ---V)r(v + 2/+ 1) . -X-V-U- 2 у

“Г Г(|Х)Г(1 — (Х)Г (2/ + 2) ь

ХР(Х + 2/+1; V + 2/+1; 2/+2; _^)]л =

: Г I* (2^4-~2) ^ g2<1 ^ + 1^2(г + (^~j (zi ^ 4/_а0 X

, (Х + 2/+1; 2/+2; - ^L.) , (16)
388 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII

где 0 а Re (i 1 и 0<[ReX<^—2Re/<[l-|-a<^2,

а + ico

J_ f Г(у)Г(у + 2/+1)

2*1 ) r(v-X+l)r(v-|t+l)

a — ico

(zx ch <р)х+" sh" *cp X

XFl?, V+2/+1; v —X+l; — sh»«p)dv = 0 (17)

при тех же ограничениях на параметры.

Мы предоставляем читателю разбор случаев cp^>0, z =— ^<^0,

th ср zt cth ср и cp^>0, z =—2i<^0, cth ср. В этих слу-

чаях левая часгь формул (11) —(17) остается той же самой, правая же меняется, так как матрица g имеет другой канонический вид. Например, при th ср zx cth ср имеем g=diitd%, где dt и d^ — диагональнйе матрицы,

d\

При этом

'е~*1 0 \ /<?— '‘а 0

, da = \ I и и -

0 еЧ \0 еЧ

cos о — sin sin 0 cos

cos 20 = ch 2cp — Zi sh 2cp, „it, _ zi ch у sh cp ^

<0,

e”l :

ещ,

' ch cf — Zi sh cf

cth cp,

2Zj cth 2cf— 1 — zf ’

(18)

Если же ^!^>cthcp, то g=dxh(—s)dit где dx и d% имеют тот же

/ch0 sh0\ / 0 1 \

смысл, ,что и выше, h = | _ п | и s = ( ^ ]. При этом

6>0,

sh 0 ch

cos 20 = zt sh 2cp — ch 2cp, ch cf sh у /

' zl sh cf — ch cf 1

cth cp,

+ zf — 2Zi cth 2cf *

(19)

Укажем, наконец, что аналогичные формулы возникают из рас-

'cos 0 — sin 0\ /1 0\

смотрения матриц вида g=uz, где и = | „

sin

cos

\Z 1,

Здесь также приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений 0 и z. Относительно формул такого типа см. [122], п. 6.
§ 61 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 389

4. Теоремы сложения. Применим теперь равенство (3) п. I к матрицам

/ ch 0! shOA /ch0,3 sh 02\

^ \sh 0j ch \sh 02 ch 02j ‘

Мы имеем

''ch (0t -|- 92) sh (0j + 02)\

\sh(0, + 02) ch (0j -I- О,),/ ’

Поэтому

a 4* i oo

/Г(Х, K x; 0, + 0*)= 5 K(X, v; z; OOKO, W X; 64)rfv, (1)

a — ? со

где значение а выбрано соответствующим образом.

Сравним в равенстве (1) матричные элементы слева и справа. Пусть 01 О, 02>О. Тогда
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed