Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
X F (— X — 2/, (x, [x-X+1; _tg30)F+(P-)^ +
a-j- foo
+ Ц>(8|„Г»(соз«)>«' J I(^+|'+j>,) (ctg 8)1* x
a — too
X ^(X, (4 X —|— [x —|— 2/—|— 1; —ctg3 0) F^ (jx) dp, (10)
где — 1 — 2 Re / <^ a 1.
§5] ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 371
Наконец, пусть ?^>0- Тогда получаем следующую
пару преобразований. Пусть
a-j- i со
а —«со а + too
F-n=T-br I
а — too
а А- «со
1 2я1 Г (1 — X)
а —too
где 0<^ReX<^a<^ 1. Тогда
а~\- ico
j Г (1 — (X) Г (t* — X) ^(12)
/V(X)= 2-71~(V >7 S Г(1-!х)Г(!х-Х)Г^+((^)Ф +
a —ico
a-J- too
TT f TW^f-rp-^ <13>
a — rco
a-J-ioo
/Л>0=Г|^ j (14)
a —ico
где 0 <^ReX <^a<^ 1.
§ 5. Рекуррентные формулы для гипергеометрической функции. Гипергеометрическое уравнение
1. Соотношения между инфинитезимальными операторами и операторами представления. Чтобы вывести рекуррентные формулы для гипергеометрической функции, установим сначала соотношения между операторами представления Rx (g) и инфинитезимальными операторами этого представления.
Рассмотрим матрицу g= h (ср) С (t), где
W) =/Ch? Shcpx с(0==/1 t
w \shcp ch cpj 1
Эта матрица имеет следующий вид:
^chcp t ch cp -|- sh cp\ sh cp / sh cp —|— ch <p/ *
372
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ
(ГЛ. VII
При t^>0, <р^>0 все элементы матрицы g положительны и потому в силу п. 2 § 2 ее можно представить в виде
g=h(^m) = d(tl)h(fi)d(t2). (2)
Здесь d(tx) и dfa) — диагональные матрицы:
jch 0 sh 0\ yshO ch 0/ *
связаны с параметрами ср и t формулами
а А(0)=,
Параметры tb 0,
ch 20 = ch 2ср -|- t sh 2ср, ch 0 ’ sh6’
(3)
(3')
(3')
непосредственно вытекающими из равенств (1) и (2).
Из разложения (2) вытекает, что
Rx (А (?)) Rx (С (*)) = Rx (d (i10) Rx (h (0)) Rx (d Ш (4)
Продифференцируем обе части этого равенства по t и положим ^=0; так как tb 9 и ^ зависят от t, то мы получим
, с (0) | = л, R (h (0)) R (d (ti)) +
Я,(А(<р))-
|/=o
dtt dt Д'Х
?________„
dd dt
RAdfrVR- (A (0))
(tf (f3)) dt ^ \ x\~ \~\jj "Ху \"jj dt ,‘t = o'
(5)
Но из формул (3) — (3") следует, что при ^=0 имеем ^ = ^2 = 0, 0= <р, а 'потому операторы (rf (tx)) и (rf (^)) являются единичными. Кроме того, дифференцируя равенства (3) — (3") по t и полагая ?=0, находим
rfO 1 dtx 1 d<2 ch 2®
dt t=o~ 2 ’ It t = 0 2 sh 29 ’ / = 0 2 sh 2<p
Наконец, по определению инфинитезимальных операторов (см. § 3 п. 5 имеем
йЛ*(С(*))
dt
= 5,.
_ dR,(d(t))
^о-5+’ “Л-----------
Подставляя полученные выражения в формулу (5), находим
Я. г, „л | 1 «2(Л) , 1
(7)
D { W\ О О/л /СЧ
§ 5) Гипергёомет^ичйсКое уравнение 373
Совершенно аналогично устанавливается равенство
«I № в- = ШЦ *1<‘> + Т -5г ~ ^WВ’Cth 2t' <9)
Вычитая из равенства (9) равенство (8), получаем
Ry (А) (А.. - Д+) = (А) - cth 2ср
ИЛИ
— ih2f JXX vv — 1VX Аналогично, рассматривая матрицы
Rt (К) Вs = - А- /?, (А) - Ях (А) 53 cth 2ср. (10)
cos ср —sin ср\ /1 А /cos ср —sin ср\/1 0
sin ср cos ср/\0 1/ \sin ср coscp/\/ 1
получаем
и
*1 <")В* = lAf'«г <“> - Т i Ri <”)В* с,8 2,f (•1)
R« <“> в -=ж? R« w+тг тг “ т 00 B‘ctg 4 0 2)
/cos cp — sin cp\ где и (cp) = [ . Отсюда следует, что
\sin ср cos ср/
Ri (“) Ri (“) - ^ x (“) ctg 2cp. (13)
2. Рекуррентные формулы. Выведем теперь из формул предыдущего пункта рекуррентные соотношения для гипергеометрической функции, т. е. соотношения, связывающие F (а, Р; f, х) с функциями F(adz 1, P±l; 7± 1; х). Для этого заменим операторы R (h),R (и) и В+, В_, Въ, входящие в эти формулы, их явными выражениями, и
