Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
_-------;Ж*^1ГХ--------plK a_vi X-jx+1; (17)
Г(Х — (j.+ 1)Г(<о — X) где Re (j. — 1 0 a Re X Re to.
384
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ
]ГЛ. VII
3. Преобразование Меллина. Ряд формул, имеющих вид преобразования Меллина для F(а, Р; у; х), рассматриваемой как функция параметров а, р и возникает из изучения произведений вида g =
= htz, где
ht =
ch ср sh ср
sh ср ch ср
1 О'
— оо г оо,
следовательно,
ch ср —]— г sh ср shcp' ^sh ср -)- г ch ср ch ср у ’
(1)
(2)
Рассмотрим сначала случай ср 0, z^>0. В этом случае все элементы матрицы g положительны. Поэтому, используя результаты п. 2 § 2, можно записать g в виде g = d1hd<2, где
dx = \
/<?-'! О О е*1
, d%-----------
,-ts о
о
е2
А =
ch 6 shI shO ch 0/’
)>0.
Легко вычислить, что параметры 9, ^ связаны с z и э соотношениями
ch 26 = ch 2ср -j- z sh 2cp,
д/ г ch cp -f sh о , e»\ =—-XJ——l cth cp, г sh <p -f- ch cf T
eit.
(3)
- 2s -j- 2г cth 2tp ‘
0
Так, как диагональной матрице d = ^ fJ соответствует оператор умножения на + то имеет место равенство
а + tco
**<, <* + «> + «, <м-/)К(Х, р,; х; А) = 5 к (X, г, /; At)К(v, (i.; х; z)dx
а — tco
(4)
Но при cp^>0, z0 имеем
/е+_(*, К Ъ = К /;, л,) = 0,
и потому
*»<!<*+«+»<.(¦*+'> К-++(Х, р.; Х; Н) =
а + tco
= 5 К- . (X, г, х; А О АГ+ + (V, (J.; /; z)dv. (5)
§ 6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
385
Подставим в эту формулу выражения для К++, даваемые равенствами (4), (4') п. 1 § 4 и (1) п. 2 § 4. После простых преобразований получим
формулой обращения для преобразования Меллина (см. п. 2 § 5 главы II). Мы видим, что полученная формула дает обратное преобразование Меллина для функции
где переменные z, ср, tu tb 6 связаны соотношениями (3).
Еще одна формула получается из равенства (6) следующим путем. Пусть 0<^2<^thcp. Можно показать, что тогда при Rev—>--)-оо подынтегральная функция в равенстве (6) стремится к нулю. Поэтому можно дополнить контур интегрирования бесконечно большой полуокружностью, расположенной справа от контура. Полюсами, лежащими внутри получающегося контура, являются полюсы функции Г([х — v), т. е. значения v = (i-)-A, k = 0, 1, 2,... При этом
Вычисляя интеграл (6) по формуле вычетов, получаем при 0<^z<^tgcp
а + tco
а — Ico
где переменные z, ср, tb tb 6 связаны соотношениями (3) и
О < Re X < Re 2/, 0 < а < Re р.
Положим в равенстве (6) 2=~г и сравним полученную формулу с
Отсюда вытекает, что
СО
СО
= Г-Чц) Г (V) г ([X - V) cth*+ (х, v; 2/; - ^ , (7)
Выч Г([х— v)=i—?
V = |Х + k Й1
со
л1> + й)
(z cth cp)fe F (x, [X + A; 2/; -
k\
где переменные z, cp, tu tit 6 связаны соотношениями (3).
386 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ ]ГЛ. VII
Точно так же доказывается, что при ,?^>thcp
СО
= Г Ox) (X - /) + 2/, -1) (|^|)“ Cth^ + ^ в/^ (х, jx; 2/; (9)
Формулы (6) — (9) получились из рассмотрения матричного элемента АТ++(Х, [х; xl g)~ Рассмотрение других элементов матрицы К(Х, (х; yr, g) не приводит к новым формулам.
Изучим теперь случай, когда cp^>0, z = —2i<^0. В этом случае мы получаем три различных ответа, в зависимости от значений zt и ср. Пусть 0 zt th ср. Тогда все элементы матрицы (2) положительны. Поэтому g=dihdi, где db d% и h имеют тот же смысл, что и выше. При этом
ch26 = ch2cp — Z\ sh 2ср, 6^>0,
,, z, ch cp — sh о ,.
— -J—j-—-------—t cth cp,
ZjShcp — ch cp T
(10)
1 + z\ —2zx cth 2cp '
Кроме того, в рассматриваемом случае имеем
(J.; х; ^) = АГ+_(Х, (j.; х; Л)) = 0.
Вычисляя К++(Х, (J-; х; g)> получаем
а +„ i со
и 1 гтИ —3^)* =
а — i со
= +=йг”.'>+'н-»н»+<> ©“с*.к-2* -ап)-
(11)