Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 159

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 241 >> Следующая


_-------;Ж*^1ГХ--------plK a_vi X-jx+1; (17)

Г(Х — (j.+ 1)Г(<о — X) где Re (j. — 1 0 a Re X Re to.
384

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ

]ГЛ. VII

3. Преобразование Меллина. Ряд формул, имеющих вид преобразования Меллина для F(а, Р; у; х), рассматриваемой как функция параметров а, р и возникает из изучения произведений вида g =

= htz, где

ht =

ch ср sh ср

sh ср ch ср

1 О'

— оо г оо,

следовательно,

ch ср —]— г sh ср shcp' ^sh ср -)- г ch ср ch ср у ’

(1)

(2)

Рассмотрим сначала случай ср 0, z^>0. В этом случае все элементы матрицы g положительны. Поэтому, используя результаты п. 2 § 2, можно записать g в виде g = d1hd<2, где

dx = \

/<?-'! О О е*1

, d%-----------

,-ts о

о

е2

А =

ch 6 shI shO ch 0/’

)>0.

Легко вычислить, что параметры 9, ^ связаны с z и э соотношениями

ch 26 = ch 2ср -j- z sh 2cp,

д/ г ch cp -f sh о , e»\ =—-XJ——l cth cp, г sh <p -f- ch cf T

eit.

(3)

- 2s -j- 2г cth 2tp ‘

0

Так, как диагональной матрице d = ^ fJ соответствует оператор умножения на + то имеет место равенство

а + tco

**<, <* + «> + «, <м-/)К(Х, р,; х; А) = 5 к (X, г, /; At)К(v, (i.; х; z)dx

а — tco

(4)

Но при cp^>0, z0 имеем

/е+_(*, К Ъ = К /;, л,) = 0,

и потому

*»<!<*+«+»<.(¦*+'> К-++(Х, р.; Х; Н) =

а + tco

= 5 К- . (X, г, х; А О АГ+ + (V, (J.; /; z)dv. (5)
§ 6]

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

385

Подставим в эту формулу выражения для К++, даваемые равенствами (4), (4') п. 1 § 4 и (1) п. 2 § 4. После простых преобразований получим

формулой обращения для преобразования Меллина (см. п. 2 § 5 главы II). Мы видим, что полученная формула дает обратное преобразование Меллина для функции

где переменные z, ср, tu tb 6 связаны соотношениями (3).

Еще одна формула получается из равенства (6) следующим путем. Пусть 0<^2<^thcp. Можно показать, что тогда при Rev—>--)-оо подынтегральная функция в равенстве (6) стремится к нулю. Поэтому можно дополнить контур интегрирования бесконечно большой полуокружностью, расположенной справа от контура. Полюсами, лежащими внутри получающегося контура, являются полюсы функции Г([х — v), т. е. значения v = (i-)-A, k = 0, 1, 2,... При этом

Вычисляя интеграл (6) по формуле вычетов, получаем при 0<^z<^tgcp

а + tco

а — Ico

где переменные z, ср, tb tb 6 связаны соотношениями (3) и

О < Re X < Re 2/, 0 < а < Re р.

Положим в равенстве (6) 2=~г и сравним полученную формулу с

Отсюда вытекает, что

СО

СО

= Г-Чц) Г (V) г ([X - V) cth*+ (х, v; 2/; - ^ , (7)

Выч Г([х— v)=i—?

V = |Х + k Й1

со

л1> + й)

(z cth cp)fe F (x, [X + A; 2/; -

k\

где переменные z, cp, tu tit 6 связаны соотношениями (3).
386 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ ]ГЛ. VII

Точно так же доказывается, что при ,?^>thcp

СО

= Г Ox) (X - /) + 2/, -1) (|^|)“ Cth^ + ^ в/^ (х, jx; 2/; (9)

Формулы (6) — (9) получились из рассмотрения матричного элемента АТ++(Х, [х; xl g)~ Рассмотрение других элементов матрицы К(Х, (х; yr, g) не приводит к новым формулам.

Изучим теперь случай, когда cp^>0, z = —2i<^0. В этом случае мы получаем три различных ответа, в зависимости от значений zt и ср. Пусть 0 zt th ср. Тогда все элементы матрицы (2) положительны. Поэтому g=dihdi, где db d% и h имеют тот же смысл, что и выше. При этом

ch26 = ch2cp — Z\ sh 2ср, 6^>0,

,, z, ch cp — sh о ,.

— -J—j-—-------—t cth cp,

ZjShcp — ch cp T

(10)

1 + z\ —2zx cth 2cp '

Кроме того, в рассматриваемом случае имеем

(J.; х; ^) = АГ+_(Х, (j.; х; Л)) = 0.

Вычисляя К++(Х, (J-; х; g)> получаем

а +„ i со

и 1 гтИ —3^)* =

а — i со

= +=йг”.'>+'н-»н»+<> ©“с*.к-2* -ап)-

(11)
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed