Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Интегральные представления и формула сложения для гипергеометрической функции
1. Вводные замечания. В основе результатов этого параграфа лежит следующее простое замечание. Так как Rx(g) является представлением группы SL (2, R), то имеет место равенство
R, (gi#) = Rx (g\) Rx Ы- (0
Запишем эго равенство с помощью ядер операторов Rx(gi)>
Rx(gig<i)- Мы получим, что для любой пары F — (F+, F_) из пространства ф выполняется соотношение
b -j- tco
\ к (A, [J-; ¦/:, g,&) F (|i) d(± =
b — ico
a -j- ico b + too
= S K(X, v; gi) 5 K(v, (J.; jr, gi) F (fx) d\i dx (2)
a — ico b — ico
Поэтому, если допустимо изменение порядка интегрирования, ядра К(Х, (х; g) должны удовлетворять соотношению
а + ico
К(Х> (J-; r> gigi)= 5 К(Х’ г> К gi) к (v; ix; й)^ (3)
a — ico
— континуальному аналогу теоремы сложения. Значение а должно быть таким, чтобы рассматриваемые интегралы абсолютно сходились при v = а + it.
Выбирая специальным образом матрицы ^ и gb получим разнообразные соотношения для гипергеометрической функции. Сначала будут получены интегральные представления для этой функции.
380 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ (ГЛ. VII
2. Интегральные представления. Чтобы получить интегральные представления гипергеометрической функции, воспользуемся следующим тождеством:
ch8 sh6\ /1 th6\/-L 0 \/ 1 0
h= = ch0 ]. (!)
Vsh8 ch8/ \0 1 / \ 0 ch8/\th8 1 у
/— 0
Поскольку при 6^>0 диагональной матрице ch 0 J соответст-
\ 0 ch (
вует оператор умножения на (ch6)9</ + M (см. § 3 п. 3), то из равенства (1) вытекает, что
а + ico
К(X,ix; X;h)= ^ К(Х, v; Х; C)(ch6)2^ + ')K(v, (х; Х; (2)
а — ico
/1 th 8\ /1 0\
где положено j у 2=\th6 lj' ения паРаметР.ов К
(х, / и а в формуле (2) должны быть такими, чтобы соответствующие интегралы абсолютно сходились.
Согласно п. 2 § 4 имеем
К, (X, v; х; С) = АГ+_ (v, (х; х; г) = 0. (3)
Поэтому, сравнивая матричные элементы слева и справа в форму-
ле (2), находим
а + /со
/С++(Х, 14 х; h)= 5 к+ + (к, V, х; 0/c++(v, р; х; z)ch’<*+/> erfv.
а — /со
(4)
Но в ri. 1 и 2 § 4 мы вычислили АГ+ + (Х, х; А), K+ + (k, v; X'- 0 и
АГ+ + (^. [4 X! z)- Подставляя найденные там значения этих функций
и сокращая на общие множители, получаем
х \л/ 21)11 u р ( су/_ \ 9/_ . _ 9/._1
Г (-- 21) ch2/ + х + И- 0 Г К л> Р’ *h sh2Q
a -+¦ ico
2тс/
a — /со
§ Г (‘г(—I —vго гЫ ~ (th6)9v~^‘1ch2(v+nefik (5)
Применяя в левой части формулу (5) п. 2 § 1 и заменяя ^
sh2 0
на х, 21 на — ш, после несложных преобразований получаем равенство
а + /со
рп ц.ш. _г)_ Г И Г Г(Х-у)Г(,1-у)Г{у) .
’ )— 2т Г (v) Г (н.) J Г (и — у) Х ®V- (Ь'
a — loo
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
381
Уточним теперь, какие ограничения налагаются на параметры^., / и а требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Как отмечено в п. 4 § 3, интеграл, определяющий К+ + (К х>' К), сходится при 0<^ReX<^Reo> (мы заменили 21 на —ш). Интегралы же, определяющие К+ + (К v; х; О и К++ (v> № X! z)> сходятся соответственно при Rev<[ReX<^Reto и 0<^Rev<^Re(j.. Так как Rev = a, то мы получаем следующие условия справедливости равенства (6):
0<^a<^ReX<^Rea> и a<^Re[J..
Легко доказать, что при выполнении этих условий абсолютно сходится и интеграл (2) п. 1.
Фактически ограничение Re X < Re « является излишним. Условия же 0<a<ReX, а < Re (j. означают, что путь интегрирования отделяет полюсы функции Г (v) от полюсов функций Г (Л—v) и Г (fi — v). Это замечание позволяет расширить область применимости равенства (6). Именно, подынтегральная функция в этом равенстве аналитически зависит от v во всей комплексной плоскости, за исключением полюсов функций Г (v), Г (X—v), Г ((а — v). Поэтому путь интегрирования можно деформировать любым образом так, чтобы при этом не менялись начальная и конечная точки пути, и путь не пересекал упомянутых полюсов. После этого можно изменить значения X, (j. и м. В результате мы убеждаемся в том, что формула (6) справедлива для всех значений X, jj., ш, а при том лишь условии, что путь интегрирования отделяет полюсы функции Г (v) от полюсов функций Г (X—v) и Г ((J. —v).
