Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 149

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 241 >> Следующая


!- ^ ф_(р)с— х) 2 ,р^р. *<о,

— со

00 00 j If{x)\*dx = ^ J |®+(p)|^p + i- J |ФЛР)|^Р>

где для краткости положено Ф+(р) = /7± «pj. Мы можем по-

этому распространить соответствие /—-(F+, F_) до соответствия /— (Ф+) Ф_), где /, Ф+, Ф_ — функции с интегрируемым квадратом модуля.

Найдем теперь, как выражаются операторы представления Т% (g) в пространстве пар F = (/7+, Р_). Обозначим пару, соответствующую функции Tx(g)f(x), через Rx (g) F = (Rx (g) F_v, Rt (g) F ).
358 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII

(е-* 0 \

Пусть d=[n _ —диагональная матрица. В пространстве функ-

\ 0 ev /

ций f (х) ей соответствует оператор

Tx(d)f(x) = e^f(e^x). (8)

Поэтому

СО

Rx (d) F+ (X) = (e Tf х) xl~1 dx =

О

со

= ei9(M) ^f(x)xl~l dx = ea-ti-M)F+(k). (9)

О

Аналогично,

Rx (d) F_ (X) = е^{Ш) F_ (X) (10)

и, следовательно,

flz(rf)F(X) = e**(x+/)F(X). (11)

* 0 \

Таким образом, оператору Tx(d), rf=l ^ I соответствует

в пространстве пар F = (/¦%, F ) оператор умножения на функцию е2<р(М-0_ иными словами, при переходе к пространству пар операторы, соответствующие матрицам d, приняли диагональную форму.

/ 0 1'

Совершенно аналогично доказывается, что матрице s=|

1 0/

соответствует оператор, переводящий пару F (X) = (F+ (X), F_ (X)) в пару

Rx (s) F (X) = (F_ (— X — 2/), (- 1 )**/=+ (- X - 2/)). (12)

1 0

0 -

дящий пару F = (F+, FJ) в пару

Матрице же — е = ( ^ | соответствует оператор, перево-

(- !)*¦ F = ((- 1 ?‘F+, (- 1)2Е/0- (13)

'1 0’

ie * = |

щий F = (/7+, F._) в

Наконец, матрице ^ = (q j) соответствует оператор, перенодя-

Rx(t) F = ((- 1 TF_, (- - 1 )*¦/%). (14)

3. Операторы второй реализации представлений T,(g). Рас-' /а

смотрим теперь матрицу Sr = l gj> все элементы которой отличны
§31 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SL (2, 7?) 359

от нуля, и найдем соответствующий ей оператор в пространстве пар. Так как

7'xfe)/W = |^ + 8|aisign24^+S)/(;-^), (1)

ТО

со

Rt(g)F+M= J *+4^ + S|*'signa4^ + S)/(g^W (2)

— оо

И

00

Rx(g)F-(K)= j ^-_Il^+Ma'signa?(px + 8)/(^±|)^. (3)

— СО

Сделаем в формуле (2) подстановку ^-^-Ъ =У' полУчаем

Rx(g)F+(k) =

00

= J (Д^+а)*~1 i — Йу +аГ'“5 slsn2? (— Йу + *)/(у) dy• (4)

— оо

Используя формулу обращения (5) п. 2, можно переписать этот интеграл в следующем виде:

00

R, (я) F,« = i I 'i-Ь + « г“- X

О

а + i со

X sign3' ( (Зу -|- а) ^ у-Ч*\ ([!) d[x dy +

a —ico

+ i S (=|чУ+ i~^ + ai“2'“*X

— CO

а + l со

x sign28 (— + a) j ([X) dy, (5)

a — ico

где 0 a — 2 Re /.

Покажем, что при выполнении условий

0<ReX<— 2 Re/, |

— 1 — 2Re/<Re[x<l ) (6)

интегралы в формуле (5) абсолютно сходятся. Так как функции F+ ((J.) и F_ ([x)j (j, = а -\- jv быстро убывают при | v | —> со, то достаточно показать сходимость интегралов по переменной у. Если все элементы
360 Представления группы унимодулярных мАтрИц [гл. vii

матрицы g = ^ gj отличны от нуля, то особыми точками подынтегральной функции являются точки_у = 0, у и оо. Порядки функции в этих точках равны соответственно

— р., — X — 2/ — 1, X—1 и — [х — 2/ — 2.

Отсюда и вытекает абсолютная сходимость интегралов в области (6). Случай, когда один из элементов матрицы g обращается в нуль, будет рассмотрен ниже.

Будем считать, что условия (6) выполнены. Тогда можно изменить порядок интегрирования. Мы получим
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed