Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
рицы, a p — матрица одного из следующих двух видов:
/ch 0 sh 0\
P = Ue ch«)’ -°°<»<°°. (2)
/cos 6 — sin 0\ n n
'’“(sin» cos»)' -T<“<4- - <3>
Поскольку для всех матриц указанного вида ядра операторов вычислены, мы легко найдем ядро оператора Rx (g).
В случае, когда один из элементов матрицы g равен нулю, надо использовать разложение (6) п. 2 § 2. Наконец, в случае, когда два элемента матрицы g равны нулю, следует воспользоваться результатами п. 2 § 3,
4. Некоторые интегральные преобразования, связанные с гипер-геометрической функцией. Операторы Тг (g) и Тг (g"1) взаимно обратны: если F=7’x(g)f, то f = Тх (g^1) F. Поэтому из
а+ ico
F (X) = 5 К(х' к г. g)t(v)'dl>; (1)
а — /со
где f = (/+, / ) и F — Г'_), следует, что
а + ico
f(X)= 5 к (X, (J.; х; (2)
а — too
где а удовлетворяет указанным в п. 3 § 3 ограничениям. Выбирая различные элементы g группы SL(2, R), получаем пары взаимно обратных интегральных преобразований, связанных с гипергеометрической функцией.
§ 4) ВЫЧИСЛЕНИЕ ЯДЕР ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Я (?) 369
/ch 0 sh6\
Ьсли положить gr=LcjjqIi 0^>О. to получаем следующую пару интегральных преобразований, связывающих F и f. Пусть (>0 = i Г(ХТ^:2/7 2/) (sh 9)-х (ch 0)^г X
a-ftoo
X J (cth0fF(x, w -21; (3)
a —ico
/7-(X)=ir(X)(sh6)^ch6)"+2'x а + too
X 5 iT(xri1^)(cthefF(X,X+2/+l;X-ix+ 1; -Sh*8)/+([x)^ +
a — Ico
fl-f too
+e^-»^(sher,(ch6r,„ |
a —ico
X(th0fF(l — X, — X — 2 /; [x — X —|— 1; — sh2 0)/+ ([x) ф -f
a+ too
l
2*i Г (21 + 2) (sh 6)"^4'"2 (ch 6)"+a' j -^)r(i^+2/+ l)(cth 0)“X
a —ico
X^fx-f 2/+1, P-+2/+1; 2/+2; - * W ([х)ф, (4)
sh2 0
где — 1 — 2 Re/<^ a 1. Тогда
a-J- tco
^ W = 2я1 Г (2/ + 2) (Sh (Ch 6)"+2' J Г (1 - ,1.) Г (p. + 2/+ 1) X
a —tco
X(cth0fF(x+2/+l, Ц+2/+1; 2/+2; -F+(fx) ф +
a + tco
+ ^г(Х)(5ь»)1(сь»)« J r^fr/cihefx
a —too
X/7(X, X-f2/-f 1; X — {jl —|- 1; — sh2©)^^)^ -f
a + tco
+ (sh 9) * (ch 0) ^ 5 <th X
a — too
XF(i— X, — X — 2/; |л — X -|- 1; — sh2 0) ^ (p.) (5)
и
f- <X) = Г(й.?Г(-2/)2/)- (5h 6) " (Gh 6)"+2' X
a + ico
x { (cth0)^(x, [x; -2/; (6)
a —Ico
где — 1 — 2Re / a <^1 .
370 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
. „ /cos 8 — sin 0\ п
Аналогично, случай S‘=(sjng cos 6J’ ^Т’ ПРИВ°ДИТ
к следующим преобразованиям. Пусть
a + ico
^W = ^S-)(si"»)-1(cose)*« { rp+^+H+Ijt^^X
а — too
X F(k, (Ч X —|— p. —|— 2/—|— 1; —ctg2 0)/+ ((j,) dp
a-\-ico a—too
X (tg Vp F (- X - 21, к [X - X + 1; - tg3 0)/_ Oi) dp (7)
И
a-\- ico
/MX) = ^(sin0)\cos0) ^ i r(|'(l,, H»(ctg0)ilX
a —ico
XF (X, — (x — 2/; X-p+1; - tg30)/+ (jx) dp +
a-j- too
+г(^г,Г2')(5|"6)М(С05 8Г^' ji
a — too
XF(1— X, 1 — [x; 1 — x — [X — 2/; — ctg3 0)/_ (jj.) dp, (8)
где —1—2Re/<^a<^l. Тогда
a+ico
ш=т^-^ (sme)‘-< (cos»)->¦“ J _^'^>_.-(tglD>x
a —too
XF(1-X, 1— (i; 1 — X — [X — 2/; — ctg3 0) F+ (fx) dp +
a-j- too
+ (sin (cos j r^-7+1)(ctg 6)"x
a — Zoo
X F (X. -|i-2/; X (x —|- 1; — tg2 0) /=•_ (fx) rffx (9)
И ^
a+too
f-(X)=r (-x -2/) (sin 6Г" (cos 6)'+аг $ X
a — ico