Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
_P(l_z)F(<x+l, р+1; т+1; г) = 0. (20)
Аналогично, из формулы (11) п. 1 получаем, сравнивая К++ в обеих частях равенства,
(Т— l)F(a, р —1; т-l; z) + (az — Т+ 1)F (a, р; Т; z) —
- ^z(\-z)F(<l+\, р + 1; т+1; z) = 0. (21)
По симметрии относительно аир отсюда следует
(Т—l)F(a—i, Р; у 1; z) + фг — т + 1)F(a, Р; у; z) ¦—
—$-z(l-z)F(a+l, р+1; Т+1; z) = 0: (22)
Наконец, из формулы (13) п. 1, сравнивая значения АТ++, получаем рекуррентную формулу
т(т —1)Р —т —i; г) + т[(а — P)z — т+ iJ^O*. Р; т; 2) +
+ P(T_a)2F(a, р + 1; т+1; z) = 0, (23)
и по симметрии относительно аир
у (у — l)F(a — 1, Р; т— 1; 2)+т[(Р —а) 2 — т + 1] F (а, р; у; z) + + a(T-p)zF(a+l, р; Т+1; z) = 0, (24)
§51 ГигшргеомЕтрическоё уравнение 377
Полученные 15 рекуррентных формул являются основными. Из них
можно вывести ряд новых формул. Например, вычитая из равенства
(10) равенство (9), получим
(<х —T)F(a—1, Р; Т; z) + (7 — Р) F (а, Р — 1; 7; 2) +
+ (Р — а)0 — z)F(a, Р; у; z) = 0. (25)
Далее, умножим равенство (9) на &~у, равенство (10) на
7~—13 и равенство (14) на (Р -a)z. (вкладывая полученные соотношения, найдем
F(a, р 1; у; z)-F(n- 1, р; 7; *) +
+ ^=l2F(a, Р; Т+1; г) = 0. (26)
Исключим из равенств (19) и (20) F(a + 1, р —1; 7 —)— 1; г).
Мы получим
7(<х — P)F(ct, Р; у; Z) —<х(т —Р)/7(<х+1, р; T-)-l; z) +
+ P(T_<x)F(a, р+1; 7+1; z) = 0. (27)
Исключая же F(а, Р; у; z) и заменяя а, р, у на а—1, р—1, у—1,
получим
(а — fOO — z) F (а, Р; Т; z) + (p-T)F(a, р - 1; Т; z) +
+ (7 — л) F (л 1, Р; у; z) = 0. (28)
Аналогично, из равенств (16) и (17) находим (Р~ a)F(a, Р; у; z) -f- oF (а + 1, Р; у; z) —
-PF(a, Р+1; 7; z) = 0. (29)
Из равенств (21) и (22) следует, что
7(а — P)F(a, Р; 7; z) — а(т — р)F(a + 1, Р; 7+I; г) +
+ P(7_a)F(a, р+1; т+1; г) = 0 (30)
И
(а —P)(l ~-z)F(а, Р; у, z) + (Р 7) F(а, р — 1; Т; z) +
+ (7 — л) F (а — 1, Р; у; z) — 0. (31)
Из равенств (9) и (21) получаем 7F(a, Р; у; z) — pF(a, р + 1; т+1; z) +
+ (Р — 7)^(«- Р; 7+i; z)=o, (32)
и по симметрии относительно аир, yF(а, Р; Т; z)^aF(a+l, р; Т+1; z) +
+ (а —7)F(a, Р; 7+i; z) = °. (33)
378 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Из равенств (23) и (21) получаем
(т — !)т [^(а> Р —т —— Р; Ч-
+ »(т — Р)^(а+!. Р; т+!; z) = oI (34)
и, по симметрии относительно аир,
(т - Р: Т— z) — F(a, Р; у; z)\-f
+ Р (Т — я) zF(я> Р + 1; Т ~\~ ~) — (35)
Укажем еще равенства:
Т ta — (Т — Р) Л F (а, Р; Т; г)-Т(1-г)^(а, Р+1; Т; z) + + (т —а)(т —Р)2/7(а> Р; т+!; -) — о (Зб)
и
т [Р — (т —а) А ^(я> Р; т; 2)~ тО — ^)/7(а+1, Р; т; 2) + + (т-“)(т-Р)^(“. Р; т+1; г) = о, (37)
вытекающие из соотношений (14) — (16). *
3. Гипергеометрическое уравнение. Выведем теперь дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет гипер-геометрическая функция. Для этого заметим, что по формуле (8) п. 2 оператор
2(1 ~^Тг +(Т—Р —
переводит F(a, Р; -j-; z) в (^ — Р) F (о., р—1; -у» z)- Используя формулы (16) п. 2 и (2) п. 2 § 1, можно точно так же доказать, что
оператор z~-\~ р переводит F( a, Р; у, z) в pF(a, Р+1; f, z).
Отсюда вытекает, что
[Zfz + Р—!) [^С1 — 2)^ + (Т—р—a2)]F(a, Р; Т; г)=
=(Р— ^(т — Р)^ Р; т: z)- С1)
Раскрывая скобки, получаем
[z(l — Z)^-Y (т — (a+P + ~ aP]F(a> Р; т. г) = 0. (2)
Итак, гипергеометрическая функция является частным решением уравнения
2(1-2)§+[Т-(а+Р+1)г]!-4У = 0. (3)
Это уравнение называют гипергеометрическим дифференциальным уравнением.
§ 6] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 379
Чтобы найти второе частное решение, сделаем в уравнении (3) подстановку у = z1-T w. Мы получим уравнение
z(1-^)5 + [2-T-(a+P-2T+1)z]g' +
+ (« — Т+ !) (Р — Т+ 1)®' = 0. (4)
Одним из решений уравнения (4) является
w = F(o. — 7+1, р — Т+1; 2 — у; z).
Поэтому второе частное решение уравнения (3) имеет вид
v = w = г1"1 F (а—т+1, р_т+1; 2 — у; z). (5)
Если т не является целым числом, эго решение линейно независимо от F (о., Р; у, z). Случай, когда т— целое число, сводится к разобранному путем предельного перехода.
