Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
(П)
Из него следует, что
— а -{- i со
к (X, (x; х; U (0, + 0,)) = 5 К (X, v; Х! « (0.)) К (v, щ х; и (0,)) (12)
392 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Рассмотрим случай, когда О<^0,<^0 <[0.2<^ и 0 0, -|- 09 ~.
Подставим вместо матриц К(Х, v; yj, и т< д< их выражения, полу-
ченные в п. 1 § 4 и сравним соответствующие матричные элементы в левой и правой частях равенства. Мы получим следующие соотношения:
1 С ' 1> + <о + l)T(v) , , n , п \v W
й = 2ти J Г(Х + V "> + 1) I’ ((* + V + <’> -Ь 1) ^ g ' g ^ ^
а - i со
X F(k, v; X-f-v - j-u>-f 1; --ctga0,)/¦'(*> <-i; ji+v + to-L- 1; — ctg*04) dv=
_ _________1___________tg^i tg^a I CQS(0X Ч~9а) Г w
Г(А+(j. + 0)4-1) (0t Ц-02) V cos9! cos02 j л
X F (X, i-i; ^ -|- i-i -|- <o -|- 1; —ctg2 (0, -)- 02)), (13)
___ 1 i* ГМГ(* + “+1) Ctp-0 t?T0 V 4/
Js ) r(v — x -j- i)r(v — (j.-}-1)
a — t со
XF(—\ — to, v; v — X -|- 1; — tg2 0^ X
X^(— I1 — «>. [A + 1; — tg304)dv = o, (14)
где 0 Re X — Re w Re jj. -f- 1 2, a 0, a — 1 — Re ш, и
(I t СО
J‘ = h J гмг(1-,)х
a — / со
X [г(1_^)Г(Х —v+l)^(v + fi. + <o+1) (ctg 01^ + ^ctg 0^ ^ XF(—<0 —V, X; X —v + 1; —tg^OX
X^(v, l-ь; v+1-i + co-Ll; — ctg202) +
Г(-х-ш) (tg 6i)v+“(tg0.2)vX
~ Г (X) Г (— X — <o — v + 1) Г (v — fi + 1)
X F(—X — to, —v — (о; —X—o) — v —|— 1 *, —ctg2 0j) X
XF(— [л—Ш, v; v — p.-|- 1; — tg20g)jdv =
1 / cos (9t + 92)\“ (ctg Ot)* (tg 03)^ N/
— Г (X — p. -j- 1) V sin 9, cos 9 J (tg (9, + 92))h-* л
XF{K — ц —«о; X—ji+1; — tg3(0, + 0,)), (15)
где 0<[ReX<^ — Reco<^Re[x-|-l<^2 и 0 a 1.
Вычисление остальных элементов матрицы К (X, ц; у; гг(0,-(-ба) не дает новых формул для гипергеометрической функции.
Предоставляем читателю разобрать случай O<^0i<^rc/2, О<^02<^ <^тс/2, 0j ~|- 0а ^>1г/2, а также случай, когда один из углов 0t или 09 меньше нуля.
§ 71 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ 393
§ 7. Представления групп вещественных матриц второго порядка и функции Ганкеля
Мы рассматривали в этой главе реализации представлений группы SL (2, /?), при которых диагональным матрицам соответствовали операторы умножения на функцию. Здесь будет рассмотрена еще одна реализация представлений этой группы, а именно, реализация, при которой операторы умножения на функцию соответствуют треуголь-
’1 (Л
ным матрицам ^ = jj- Мы УВИДИМ> чт0 ПРИ этом матрице s = О 1\
^ I соответствует интегральный оператор, ядро которого выражается через функцию Ганкеля.
1. Новая реализация представлений Гх (g-). Напомним, что представления Тх (g) реализуются в пространстве 3) функций па прямой и задаются формулой
7'xfe)/W = x(^ + 5)/(-^±L), (1)
/а р\
где х 0*0 = I х f‘ sign28 х, ?Г=1 gl- Чтобы перейти к новой реализации, при которой матрицам t соответствуют операторы умножения на функцию, сделаем преобразование Фурье по л: (а не преобразование Меллина, как мы делали в предыдущих параграфах). Итак, перейдем от f (х) к
СО
F(k)= $ f(x)eiXxdx. (2)
— СО
Так как \f (х) | ~ | л: [2/ при |jc|—-оо, то интеграл (2) абсолютно сходится, если X—вещественное число и Re/<^ — 1/а.
Полученная реализация обладает искомым свойством — треугольным матрицам t в ней соответствуют операторы умножения на функцию. В самом деле, в силу (1) имеем
(*)/(.*)=/С*+ 0.
Но
оо оо
5 f(x + t) eixxdx = e-‘xt 5 f(x)eiXxdx = e iXtF (К).
— со —СО
Это равенство показывает, что в новой реализации матрице t соответствует оператор умножения на e~lXt:
Qy (t) F (X) = e~lxtF (>Л (3)
394 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Выясним теперь, во что переходят операторы Тх (g), соответствующие другим матрицам из группы SL (2, R). Сначала заметим, что любая матрица g из SL (2, R) может быть представлена в одном из следующих двух видов:
g=tb (4)
ИЛИ
g = tlbst2. (5)
