Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
= — 4 — 1 = /.
§ 2] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 303
В первом случае представления 7^ (g) и Т (g) совпадают. Во втором случае из соотношения (3) получаем
__Г(/ —я—е + 1)
Чпп •
Таким образом, в случае, когда lx= —lt—1 = /, матрица оператора Q в базисе {е 1ПЙ] диагональна, причем на главной диагонали
Г(/— Я — ?+1)
этой матрицы стоят числа •
Ясно, что в нецелочисленном случае оператор Q 1 существует и непрерывен (его матрицей является диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят числа Г (--я — /—е)/Г (/ — п—s —(— 1)). Таким образом, если у, ——/2 и представление Т (g) не является целочисленным, то Т (g) и Тъ> (g) эквивалентны.
Сложнее обстоит дело в целочисленном случае. Пусть y_v=(l, е) — целочисленно, причем I—s<^0. В этом случае представление 7^ (g) приводимо. Оно индуцирует неприводимые представления Tt (g), 77(g) и 77 (g) в пространствах X/, ХГ и X? = X/(Xi -|- ХГ) соответственно.
Так как у^ = ( — /—1, е), то и представление TXS!(g) приводимо. Оно индуцирует неприводимые представления T-i^\(g), TLi_i(g) и TLi-i(g) в пространствах
3>t,_,/?!!-,-i, и =
Точно так же как и в нецелочисленном случае, доказывается, что представления 77(g), 77(g) и Tf(g) соответственно эквивалентны представлениям 7'i/_i(g), TL i _ i(g) и T— i _ i(g).
Можно показать, что других эквивалентностей, кроме указанных здесь, между представлениями не существует.
7. Условия унитарности. Прежде чем выяснить, при каких х= = (/, е) представление 7z(g) унитарно, установим, когда в пространстве 3) есть эрмитова форма H(fb /2), инвариантная относительно 7-/ (g), т, е. такая, что
H{A,h) = H{T1{g)fl,T1{g)fi). (1)
Из равенства (1) следует, что для любого инфинигезимального опера-
тора А1 представления Тг (g) имеем
(АгА> Л) “I- (/1, АгЛ) = 0- (2)
Чтобы убедиться в этом, достаточно представить в (1) g=g(t), про-
дифференцировать по / и положить t = 0.
Дальнейший ход рассуждения напоминает проведенный в предыдущем пункте. Мы приходим при этом к следующему результату:
304 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2) [ГЛ. VI
Представление 1'г (g), у = (/, е) обладает инвариантной эрмитовой формой H(fi, /2), если либо 1 = 1, либо 1= — I—1. В первом случае I—вещественное число, а во втором оно имеет вид
1=------^—|— Ф» г^е Р — вещественное число.
При этом эрмитова форма, инвариантная относительно представления Tx(g), Х=(-------е) > имеет ВИД
00
(/1,Л)= Ц апьп. (3)
Здесь/j (е'°) = 2 апе~1пЯ, /2(е‘°)= Ьпе 1пв. Эту форму можно
п~— со п — — 00
записать в интегральном виде
2п
(./и A) = i \/i dt). (4)
о
Точно так же при вещественном I эрмитова форма, инвариантная относительно Т (g), / = (/, е), имеет вид
00
ОД,/,)= 2 г^Г^-.г-А 04
п = —оо
или, в интегральной форме
2тг
H{U /0 = С J J I sin х
О о
х [sign sin izpj /j (е‘>)/2 (ег?) rf<|) d'o, (6)
где
^__ Г (/ — e -f- 1) Г (— / -f- e) ehlc
u 22г+4лгг(—2/— lj
Теперь уже легко установить, при каких значениях х = (/> ?) ии" вариантная эрмитова форма //(/i, /2) положительно определена, т. е. когда представление унитарно.
Очевидно, что для любой функции /(е‘°) из 3) имеем
00
(/,/)= 2 KPSsO.
Л =— 00
Поэтому все представления Т (g), х = (—-i—(— /р, s') унитарны. Мы
х vs/> л ^ 2
будем называть их унитарными представлениями основной серии.
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
305
При этом Tx(g), Х = (------^/р, 0^ называются унитарными пред-
ставлениями первой основной серии, а (g), Х=(—Т
унитарными представлениями второй основной серии.
Рассмотрим теперь случай, когда ^ = (/, е), где I — вещественное число. Для положительной определенности инвариантной эрмитовой формы необходимо и достаточно, чтобы при всех п выполнялось неравенство
Г(/ — п — в-f- 1) ^ „
Г(—Я —/ —е) ^ '
Так как
Г (/ — п—? + 1) __ (/ — п — е)Г(/ — /г — е)
то при всех п должно выполняться неравенство
/ — п I
Г (— п — I — е) (— /г — / — ? — 1)Г (— л — / — е — 1) ’
