Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Неприводимые представления группы QU(2)
В этом параграфе мы построим серию представления Tx(g) группы QU(2). Эти представления задаются комплексным числом I и числом е, принимающим значения 0 и 1/2, и строятся в пространствах однородных функций f (z) заданной четности. Будет показано, что представления Т% (g) приводимы тогда и только тогда, когда 2/ и 2е —
целые числа одинаковой четности, и будут указаны условия эквива-
лентности и унитарности этих представлений.
1. Пространство Фг Обозначим через у совокупность -^ = (1, е)
, п 1
комплексного числа I и числа е, принимающего значения 0 и у.
Каждой такой совокупности поставим в соответствие пространство функций ср (z) комплексного переменного z = x-\-iy, таких, что:
1) функции ср (г) бесконечно дифференцируемы по х и у во всех точках z = x -\-1у, кроме точки z = 0;
2) для любого положительного числа а выполняется равенство
3) функции ср (z) имеют заданную четность: при е = 0 они четны, а при е = 1/а нечетны:
(2")
(20
(2)
\а-у аа] — аз>
[fla, Дд] -------- Др
[а3, а-J ^ а2.
(3)
(30
(З’О
cp(az) = a2?cp (z);
О)
ср(—z) = (— l)2scp(z).
(2)
296
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2)
[ГЛ. VI
Если Г— некоторая кривая на комплексной плоскости, пересекающая в одной и только одной точке любую прямую, проходящую через точку z = 0, то функция cp(z) из пространства ?>х однозначно определяется своими значениями на этой кривой. Именно, если z — точка комплексной плоскости и z0—точка пересечения прямой, соединяющей эту точку с началом координат и кривой Г, то
Поэтому пространство 3)х можно рассматривать как пространство функций на кривой Г.
Если кривая Г пересекает прямые, выходящие из начала координат, в нескольких точках, то 3)х реализуется как пространство функций, заданных на кривой Г и удовлетворяющих некоторым добавочным условиям, вытекающим из однородности и четности функции (г).
Например, если Г — единичная окружность, то при е = 0 пространство ?>х реализуется как пространство бесконечно дифференцируемых четных функций на окружности, а при е = */а—как пространство бесконечно дифференцируемых нечетных функций на окружности *).
Нам будет удобно иным образом реализовать пространство Х>х на окружности. Именно, при е = 0 каждой функции ср(г) поставим в соответствие функцию /(е'°), определяемую равенством
В силу четности функции ср (z) функция f (ел) однозначно определена.
Эта функция однозначно определена в силу нечетности ср (z). Таким образом, при любом % = (/, Е) пространство ?>х можно реализовать как пространство X бесконечно дифференцируемых функций на окружности.
QU(2) поставим в соответствие оператор Tx(g) в пространстве Ч)х, определяемый формулой
!) Мы называем функцию, заданную на окружности, четной, если она
принимает в диаметрально противоположных точках одинаковые значения, и ’ нечетной, если ее значения в диаметрально противоположных точках
отличаются только знаком.
(3)
(<?г0) = ср (<? 2) •
(4)
Если же е =
2 ’
то положим
;е ;е
f{e*)=e\{e2y
(5)
2. Представления T%(g). Каждому элементу
группы
Тг (g) ? (z) = v (аг- + рг).
-0)
§ 2]
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
297
Очевидно, что функция Тг (g) ср (z) имеет ту же степень однородности 21 и четность 2е, что и функция ср (г), а потому оператор ^(g) переводит функции пространства 3)х в функции того же пространства. Далее, простой подсчет показывает, что
Гг Тг fe) = 7 /. fei й).
(2)
а потому Tt(g) является представлением группы QU{2).
Найдем выражение для операторов представления Тх (g) при реализации 3) в виде пространства 3) бесконечно дифференцируемых функций
(9
на окружности. При е=0 мы положили f(e’°) = '?(e2). Поэтому
«О i$ iО
Тг (g)f (еП) =Tt(g) ср (е 2) = ср (ае 2 -f ^ 2):
;е
Обозначим
«2+!
Тогда
ае2 + {
2 \
I I ге
\ О __
