Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Л (р, X) = [Уд (р) + Л Уд (ip) - Уд (Р) - Г ^ Уд (/р)] =
shT
=~4г ^ (р)+^ (р) - (р) - (p)1-
shT
Другой частный случай преобразований (13) и (14) получается, если взять Pi (г, Х) = Рг(г, X) = P(r, X), (г) = (г) = 0. Мы по-
лучаем при этом, что если
Хтс со
Ф, (R, X) = 5 [Я1!’д (Rr) - /$’ (tf г)] Р (г, X) г dr, (18)
о
со
Ф2 (R, X) = 4 ch ~ ^ Ка (Rr) р (Г, X) г dr, (19)
о
то
Хтс со
Р(г, Х) = ^$ [rtl'ix(Rr) — m'(Rr)]®i(R> l)RdR +
о
со
-f 4ch ^ Ка (Rr) Ф2 (Я, X) R dR, (20)
о
причем
со
0 = 4ch ~ ^ /<Гд (Rr) Ф, (Я, X)RdR-\-о
Хтс оо
+ 1U//5" 5 [№’,х (/?Г) — т (/?Г)] ф2 (R, X) R dR. (21) о
ГЛАВА VI
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU{2) УНИМОДУЛЯРНЫХ КВАЗИУНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ
В этой главе будут рассмотрены представления группы QU(2) унимодулярных квазиунитарных матриц, во многом сходной с группой SU(2). Однако, в отличие от группы SU(2), группа квазиунитарных матриц некомпактна. Из-за этого она обладает непрерывной серией унитарных представлений. Специальные функции, к которым приводит рассмотрение этой группы, родственны изученным в главе III многочленам Лежандра и Якоби. Мы будем называть их функциями Лежандра и функциями Якоби.
1. Описание. Назовем квазиунитарными унимодулярными мат-
рицами второго порядка матрицы вида ie |а|2 — |р|2=1.
Легко видеть, что эти матрицы образуют группу. Обозначим ее через QU(2). Очевидно, что если матрица g принадлежит группе QU(2),
с g матрица. Обратно, если gsg* = s и Detg=l, то g принадлежит группе QU(2). Таким образом, QU(2) можно определить как группу матриц g, таких, что gsg* = s и Detg=l.
Покажем, что группа QU(2) изоморфна группе SL(2,R) вещественных унимодулярных матриц второго порядка. В самом деле, каж-
§ 1. Группа QU(‘2)
группы SL (2, R) поставим в соответствие
ГРУППА QU(2)
289
матрицу h = t1gt, где t =
Тогда
h =
а
0)
где
а = т1а-{~8-Н(р — 7)],
Ь = ^[$-)г т f/(а —8)].
(2)
(20
Поэтому матрица h принадлежит группе QU(2).
Тем самым установлено отображение группы SL(2,R) в группу QU(2). Простой подсчет показывает, что это отображение является изоморфизмом. Однако при я^>2 группы SL(n,R) и QU(n) уже не являются изоморфными.
Укажем еще одну реализацию группы QU(2) (точнее, ее факторгруппы по центру).
Рассмотрим в трехмерном линейном пространстве Е3 неопределенную квадратичную форму
Уравнение [х, х] = 0 определяет конус в пространстве Е3 с вершиной в начале координат. Он разбивает пространство Е3 на три области: внутренность верхней полы конуса, внутренность нижней полы конуса и внешнюю область конуса.
Обозначим через SH(3) группу линейных преобразований пространства Е3, переводящих каждую из этих областей в себя. Такие преобразования являются аналогами вращений трехмерного пространства с той лишь разницей, что они транзитивно действуют не на сферах, а на гиперболоидах и конусах [х, х] = 0. Поэтому такие преобразования называют гиперболическими вращениями.
Связь между группами QU(2) и SH(3) такая же, как и между группами SU(2) и SO (3). Именно, каждой точке х (jq, xv лг3) пространства Е3 поставим в соответствие квазиунитарную матрицу
левый верхний элемент которой веществен.
Если g—любая матрица из группы QU(2), то ghg* — квазиуни-тарная матрица, левый верхний элемент которой — вещественное число. Поэтому матрица ghg* имеет вид
(3)
290
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2)
[ГЛ. VI
и ей соответствует точка у (yv уг, _у3) пространства ZJ3. Преобразование gx = у является линейным, поскольку элементы матрицы ghg* линейно выражаются через элементы матрицы h.
Итак, каждой матрице g из QU(2) поставлено в соответствие линейное преобразование в пространстве Е3. Так как матрица g уни-модулярна, то
линейное преобразование сохраняет квадратичную форму [х, х]. Легко проверить, что если лг1^>0, то и_у1^>0, а потому верхняя пола конуса |х, х] = 0 переходит в верхнюю полу. Следовательно, линейное преобразование y=gx, соответствующее матрице g из QU(2), принадлежит группе SH(3).
Мы установили отображение группы QU(2) в группу SH(3). Это отображение гомоморфно, причем ядром гомоморфизма является центр
Отметим еще реализацию групп Qt/(2) и S’! (2, R) в виде групп дробно-линейных преобразований комплексной плоскости. Каждой
