Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
cos у = cos -у е >
______ «(Ф — ? + Ф — ?)
.0 .0 --------------------2-----
sin -g- = — sm-^-e
(30
Но -^-(ср — ср—)— ф — ф) и -у (ф — ф -|- <р — ?) — вещественные числа. Поэтому, если матрица g=g(<р> 0> ф) принадлежит подгруппе QU(2),
0 .0 п
то cos -z---вещественное число, а sm ------чисто мнимое число. (_.ле-
Z ^ .
довательно, угол Эйлера 0 является чисто мнимым, а потому т = 0г — вещественное число.
Из равенств (2) и (3) следует далее, что cp-j-ф и ср — ф — вещественные числа, а потому углы Эйлера ср и ф вещественны. Таким обра-
/ш р\
30Mj углы Эйлера матрицы g= I - -| из подгруппы QU(2) имеют
§ 1] ГРУППА QU (2) 293
вид ср, — xl, ф, где ср, т, ф — вещественные числа. Принимая во внимание ограничения на углы Эйлера матриц группы SL(2, С), получаем, что параметры ср, т, ф изменяются в следующих пределах:
О ==5 ср 2т:, |
О < т < оо, (4)
— 2тс ф 2т:. J
Легко показать, что различным точкам области, задаваемой неравенствами (4), соответствуют различные матрицы g группы QU(2). При этом матрица, соответствующая значениям параметров ср, т, ф, имеет следующий врщ:
/ i (? + <м
g=
ch~e 1 sh
i (ф — <p)
\
U T Ъ
sh2e
(5)
7'аким образом, группа QU(2) также является одной из вещественных форм группы SL (2, С).
В дальнейшем удобнее использовать в группе QU(2) вместо углов Эйлера ср, 0, ф соответствующие вещественные параметры ср, т, ф. В этой главе под углами Эйлера будем понимать вещественные числа ср, т, ф. Найдем закон преобразования этих параметров при умножении элементов группы QU(2). Пусть gj = (0, тъ 0), g2 = (сра, т2, 0) и g±g2=(ср, т, ф). Используя формулы (2) — (2") из п. 2 § 1 главы III, получаем
ch x = ch ch та -)- sh sh та coscp2, (6)
if sh tj ch t2 + ch tj sh t2 cos tp2 + i sh t2 sin tp2 /-n'\
e _ __ j
Щ-Л ch^ch-J, 2 +sh^sh^-(
e =----------
chT
(6")
Из этих формул следует
tgcp =___________sh T° sin У»_________ (T)
ь т ch Tj sh т2 cos tp2 + sh Tj ch т2 ’ K '
te ф =_______________sh shLr*_________ /7")
6T sh Tj ch Tj COS ip2 + ch Tj sh T2 ¦ v
Общий случай без труда сводится к разобранному (ср. п. 2 § 1
главы 111).
Простая проверка показывает, что элемент g-(cp, т, ф) обратен элементу g(rc — ф, т, ¦—тс — Ср).
294 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QC/ с2) [ГЛ. VI
4. Инвариантное интегрирование. Поскольку группа QU(2) локально компактна, на ней существует инвариантная мера dg, т. е. такая мера, что для любой финитной непрерывной функции /(g) имеем
\f(g)dg=lf(gg0)dg.
Дословно повторяя рассуждения из п. 1 § 6 главы III, убеждаемся, что выражение меры dg в параметрах Эйлера имеет вид
dg= sht dx dy dty. (1)
Легко проверить, что она инвариантна не только при преобразованиях g—>gg0, но и при преобразованиях g~*g0g и g—>gr~1. Таким образом, инвариантное интегрирование на группе QU(‘2) задается следующим образом:
со 2тс 2тс
$ I fib*’ Ф)в11т di? dy dx. (2)
0 0 — 2ic
Иначе можно представить формулу (2) в виде
\f(g)dg=\f(o, Р) В([ а [2 — |Р|2~ ])da.1da.2d$1d$2, (2')
где ,я = яi + foa, Р = PiН-/р2 ?=(j^)-
5. Алгебра Ли. Найдем алгебру Ли группы QU(2). Рассмотрим три однопараметрические подгруппы этой группы. Подгруппа состоит из матриц вида
/ch~ sh ~\
МО = , , . 0)
V*T chT /
подгруппа Qa — из матриц вида
[ chY /shT\ w2(0= , , j (O
\~lshY chT / и подгруппа 23 — из матриц вида
НЕПРИВОДИМЫЕ представления
295
Касательные матрицы к этим подгруппам имеют следующий вид:
Поскольку эти матрицы линейно независимы, они образуют базис алгебры Ли группы QU(2).
Коммутационные соотношения для матриц av а2, а3 таковы:
Они отличаются от коммутационных соотношений для группы SU (2) лишь знаком при а3 в формуле (3) (см. п. 3 § 1 главы III).