Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 125

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 241 >> Следующая


cos у = cos -у е >

______ «(Ф — ? + Ф — ?)

.0 .0 --------------------2-----

sin -g- = — sm-^-e

(30

Но -^-(ср — ср—)— ф — ф) и -у (ф — ф -|- <р — ?) — вещественные числа. Поэтому, если матрица g=g(<р> 0> ф) принадлежит подгруппе QU(2),

0 .0 п

то cos -z---вещественное число, а sm ------чисто мнимое число. (_.ле-

Z ^ .

довательно, угол Эйлера 0 является чисто мнимым, а потому т = 0г — вещественное число.

Из равенств (2) и (3) следует далее, что cp-j-ф и ср — ф — вещественные числа, а потому углы Эйлера ср и ф вещественны. Таким обра-

/ш р\

30Mj углы Эйлера матрицы g= I - -| из подгруппы QU(2) имеют
§ 1] ГРУППА QU (2) 293

вид ср, — xl, ф, где ср, т, ф — вещественные числа. Принимая во внимание ограничения на углы Эйлера матриц группы SL(2, С), получаем, что параметры ср, т, ф изменяются в следующих пределах:

О ==5 ср 2т:, |

О < т < оо, (4)

— 2тс ф 2т:. J

Легко показать, что различным точкам области, задаваемой неравенствами (4), соответствуют различные матрицы g группы QU(2). При этом матрица, соответствующая значениям параметров ср, т, ф, имеет следующий врщ:

/ i (? + <м

g=

ch~e 1 sh

i (ф — <p)

\

U T Ъ

sh2e

(5)

7'аким образом, группа QU(2) также является одной из вещественных форм группы SL (2, С).

В дальнейшем удобнее использовать в группе QU(2) вместо углов Эйлера ср, 0, ф соответствующие вещественные параметры ср, т, ф. В этой главе под углами Эйлера будем понимать вещественные числа ср, т, ф. Найдем закон преобразования этих параметров при умножении элементов группы QU(2). Пусть gj = (0, тъ 0), g2 = (сра, т2, 0) и g±g2=(ср, т, ф). Используя формулы (2) — (2") из п. 2 § 1 главы III, получаем

ch x = ch ch та -)- sh sh та coscp2, (6)

if sh tj ch t2 + ch tj sh t2 cos tp2 + i sh t2 sin tp2 /-n'\

e _ __ j

Щ-Л ch^ch-J, 2 +sh^sh^-(

e =----------

chT

(6")

Из этих формул следует

tgcp =___________sh T° sin У»_________ (T)

ь т ch Tj sh т2 cos tp2 + sh Tj ch т2 ’ K '

te ф =_______________sh shLr*_________ /7")

6T sh Tj ch Tj COS ip2 + ch Tj sh T2 ¦ v

Общий случай без труда сводится к разобранному (ср. п. 2 § 1

главы 111).

Простая проверка показывает, что элемент g-(cp, т, ф) обратен элементу g(rc — ф, т, ¦—тс — Ср).
294 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QC/ с2) [ГЛ. VI

4. Инвариантное интегрирование. Поскольку группа QU(2) локально компактна, на ней существует инвариантная мера dg, т. е. такая мера, что для любой финитной непрерывной функции /(g) имеем

\f(g)dg=lf(gg0)dg.

Дословно повторяя рассуждения из п. 1 § 6 главы III, убеждаемся, что выражение меры dg в параметрах Эйлера имеет вид

dg= sht dx dy dty. (1)

Легко проверить, что она инвариантна не только при преобразованиях g—>gg0, но и при преобразованиях g~*g0g и g—>gr~1. Таким образом, инвариантное интегрирование на группе QU(‘2) задается следующим образом:

со 2тс 2тс

$ I fib*’ Ф)в11т di? dy dx. (2)

0 0 — 2ic

Иначе можно представить формулу (2) в виде

\f(g)dg=\f(o, Р) В([ а [2 — |Р|2~ ])da.1da.2d$1d$2, (2')

где ,я = яi + foa, Р = PiН-/р2 ?=(j^)-

5. Алгебра Ли. Найдем алгебру Ли группы QU(2). Рассмотрим три однопараметрические подгруппы этой группы. Подгруппа состоит из матриц вида

/ch~ sh ~\

МО = , , . 0)

V*T chT /

подгруппа Qa — из матриц вида

[ chY /shT\ w2(0= , , j (O

\~lshY chT / и подгруппа 23 — из матриц вида
НЕПРИВОДИМЫЕ представления

295

Касательные матрицы к этим подгруппам имеют следующий вид:

Поскольку эти матрицы линейно независимы, они образуют базис алгебры Ли группы QU(2).

Коммутационные соотношения для матриц av а2, а3 таковы:

Они отличаются от коммутационных соотношений для группы SU (2) лишь знаком при а3 в формуле (3) (см. п. 3 § 1 главы III).
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed