Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
и потому группа дробио-линейных преобразований является гомоморфным образом группы SL(2, С) комплексных унимодулярных матриц второго порядка. Ядро этого гомоморфизма состоит из матриц
, При этом гомоморфизме матрицам вида , |а|2 — |[32| = 1, т. е.
элементам группы QU(2), соответствуют дробно-линейные преобразования, переводящие в себя единичный круг и его дополнение. Матрицам же из подгруппы SL( 2, R) соответствуют дробно-линейные преобразования, переводящие в себя верхнюю и нижнюю полуплоскости. Изоморфизм между QU(2) и SL(2, R) связан с существованием дробно-
Det ghg* = Det h.
Но если
группы QU(2), состоящий
матрице второго
линейное преобразование
w = gz
az + 3
7г + 8'
Простой подсчет показывает, что
ГРУППА QU(2)
291
линейного преобразования w = z -?¦, отображающего верхнюю полупло-
Z I
скость на единичный круг.
2. Подгруппы группы SL (2, R). Рассмотренные в предыдущих главах представления групп SU(2), М (2) и МН(2) обладали следующим важным свойством: операторы представлений, соответствующие элементам некоторых подгрупп, задавались в выбранных реализациях диагональными матрицами. В группе SU(2) такой подгруппой была
(еиП 0 \
подгруппа матриц вида в группе М (2) — подгруппа вра-
\0 е_г7/2 J ’
щений вокруг начала координат, и в группе МН(2)—подгруппа гиперболических вращений. Именно благодаря такому выбору реализации удалось выразить матричные элементы представлений в виде
произведения трех функций, каждая из которых зависела лишь от одного переменного.
В группе SL (2, R) есть три однопараметрические подгруппы, такие, что любая другая однопараметрическая подгруппа сопряжена с одной из них. Этими подгруппами являются подгруппа SO(2) ортогональных
/ t t \
/ COS -J — Sltl у \
вещественных матриц I подгруппа SH(2) диагональ-
\ sin -4- cos LI
(e~tn °\ /1 0\
ных матриц! t/2J и подгруппа Z треугольных матриц вида ^
Каждой из этих подгрупп соответствует реализация представлений группы SL(2, R), при которой элементы этой подгруппы изображаются диагональными матрицами (или операторами умножения на функцию — «континуальными диагональными матрицами»),
В этой главе рассмотрим реализацию, при которой диагональными матрицами изображаются элементы компактной подгруппы SO (2). Для изучения этой реализации удобнее саму группу рассматривать
как группу Q[/(2) матриц вида (- -V (аг| — |[Зг(= 1.Приустановлен-
У
ном выше изоморфизме групп 67.(2, R) и QU(2) подгруппе SO(2) соог-
/ И/2
е О
ветствует в QU(2) подгруппа'диагональных матриц вида .
\0 е
Таким образом, мы будем изучать в этой главе представления группы QU(2), при которых элементы диагональной подгруппы изображаются диагональными матрицами. При такой реализации матричные элементы выражаются через функции, близкие к изученным в главе III функциям Якоби и Лежандра.
292 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) [ГЛ. VI
3. Параметризации группы QU(2). Каждую матрицу g=_____________________)
\Р aj
группы QU{ 2) можно задавать двумя комплексными числами аир, такими, что | а |2 — | р |® = 1. Во многих случаях удобнее заменить эти параметры углами Эйлера. Напомним, что согласно п. 4 § 1 главы III
/а
каждая комплексная унимодулярная матрица g= I задается тремя
\7 8/
комплексными числами ср, 0, ф— углами Эйлера этой матрицы. Матрица с углами Эйлера ср, 0, ф имеет вид
/ »' (ч> + Ф) > (у — Ф) \
/ 0 2 . . 0 2 \
/ cos е i sin е
?Г = i (ф —?) I <? + Ф)
\ , . 0 2 0 2 W sin -j- е cos -g- е
О)
Выясним, какие ограничения на углы Эйлера налагает принадлеж-/а В\
ность матрицы g= I подгруппе QU(2). Для этого должны выпол-\Т Ч
няться равенства & = а и 7 = р, т. е.
«(<р + Ф) ______ «ОР + Ф)
О 2 0 ' 2 (2Y
cos -у-е = cos^e
И «' (Ф — ___ i (ф — <Р)
(3)
Перепишем эти равенства в виде
j (у — у + Ф — Ф)
О 0 2 (2')
