Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
получим представление
Tx(g)F(ei6)=e 2F(eKe+t))
(1)
(2) (3)
где для краткости положено
ft-f-m—1
а/гт—¦ | J[ (# в),
(4)
П=*=к
k-^-m — 1
(5)
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
301
состоящее из функций вида e~l u_s) 9/(е‘°)> где f(z) аналитична внутри единичного круга. Через 3)Г обозначим пространство функций вида е1 f (е1\ где f(z) аналитична вне единичного круга (и в беско-
нечно удаленной точке). Функции из пространства 3)? разлагаются в ряды
^ апе~Ш> (1)
п — — ОО
а функции из пространства 3)f — в ряды
00
f(en) = е«' и+е)0 ^ апе~ш. (2)
я=0
Покажем, что подпространства 3)? и 3)f в 3) инвариантны относительно операторов 7^ (g), у = (/, е). В самом деле,
Г, (g) [е-1 = е-1 Qe* + S)2' / • (3)
Так как 21 — целое число и |а|^>|[3|, то ((Зг-^а)2*—аналитическая функция внутри единичного круга. Кроме того, так как преоб-
az 4- р ,
разование w = —Чь- переводит внутренность единичного круга в себя,
рг + а
a f(z) аналитична внутри этого круга, то и функция / (-г j ) ана-
\Дг -}- а /
литична внутри этого круга. Поэтому функция ($z-\- а)% f ()
\{3z + я/
аналитична внутри единичного круга и, следовательно,
Тг№1ег“1^/(<Р)]
принадлежит подпространству 3)^"- Тем самым инвариантность этого подпространства доказана. Точно так же доказывается инвариантность подпространства 3)7•
Если I — е 0, то подпространства 3)f и 3)* имеют нулевое пересечение. В этом случае инвариантными подпространствами в 3) являются 3)Г, Ф?" и 3)Г ~f- 3)f. Мы будем обозначать через (g), Ti (g) и T^(g) представления, индуцированные представлением в подпространствах 5)/ и 3)? и фактор-пространстве 3)/ = 3)/(3)?“ —|— ФГ)-
Если же I — е^О, то подпространства 3)Г и 3)/ имеют ненулевое пересечение 3)? = 3)7 П В этом случае мы будем обозначать через Iy {g), 'I'y (g) и 'Гу (g) представления, индуцированные представлением 7"x(g) в фактор-пространствах 3)7/3)J и 3)JV35J и подпространстве 3)?.
Таким образом, вообще говоря, в целочисленном случае представлению 1\{ (g) соответствуют три представления, 77(g), Tf (g) и 77(g).
302
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2)
[ГЛ. VI
Исключением является случай 1 = —1/2, е = 1/а, где мы имеем лишь два представления, поскольку в этом случае 3) = 3)7-|-3)/ и потому Tj (g) — единичное представление.
Точно так же как и в нецелочисленном случае, доказывается, что представления 77(g), Tt (g), Ti (g) неприводимы.
6. Условия эквивалентности. В этом пункте будут сформулированы условия, при которых представления Тх (g) и Тъ (g) группы QU(‘2) эквивалентны. Мы дадим лишь эскиз доказательства. Подробный вывод этих условий, равно как и результатов следующего пункта, читатель найдет в книге [15] (п. 5, § 4 главы VII).
Назовем представление Т7 (g) частично эквивалентным представлению Ту (g), если в пространстве 2) есть такой ненулевой оператор Q, что
QTXi(g)=TyJg)Q. (1)
Если оператор Q имеет непрерывный обратный оператор Q-1, то частично эквивалентные представления эквивалентны.
Из равенства (1) вытекает, что для инфинитезимальных операторов AV и Л*2 выполняется равенство
QA\l = Ax*Q, k= 1,2,3. (2)
Положим k = 3 и заметим, что в базисе {е~1ПЙ} матрица оператора ^4* диагональна, причем в нецелочисленном случае все диагональные элементы различны между собой. Отсюда легко следует, что матрица оператора Q тоже диагональна. Кроме того, получаем, что для существования оператора Q должно выполняться равенство е1 = е,2, где yj=(lv si), Х« = (4> е«)-
Из выполнения условия (2) при k=\, 2 следует, что
QHll = Hl*Q и QH*l = HlsQ.
Используя вид операторов Н+ и Н_ (см. формулы (9) и (9') п. 3), получаем, что диагональные элементы qnn оператора Q должны удовлетворять условиям
(Л—А-)-®) 0л+1, л+1 =(л 4 ?) Я пп. (3)
и
(—я—4 —е —1)?„+1,„+1 = (—я —А —е— 1 )qnn. '(4)
Сравнение равенств (3) и (4) приводит к выводу, что если qnn ф 0, то либо 1Х = 4, либо 1\ = — 4 — 1.
Итак, если представления 7^ (g), Xi = (А> ®i) и Т (g), Ха = (4. ®«) частично эквивалентны, то в! = е2) и либо 1Х = lt, либо 1Х =
